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Límite de sucesión (Furdui, 2013)

+4 votos

Estoy intentando resolver problemas no muy difíciles de análisis (sucesiones, series, límites), y me topé con un límite extraño:

(Furdui, 2013)

Calcular:

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{n}{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \cdots + \frac{n}{n+1}} \right)^n \]

No veo cómo empezar a atacarlo, ¿alguien tendrá algún hint? ¿Se necesitan resultados avanzados para resolverlo? Muchas gracias.

preguntado por j_ariel (350 puntos) Sep 3, 2013 en Avanzadas

1 Respuesta

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Mejor respuesta

Hola j_ariel. Voy a enlistar algunas ideas que ayudan a resolver el problema. Puedes considerarlas como sugerencias. Si después de intentarlo un rato todavía no sale, si quieres vuelves a preguntar y te cuento la solución:

  • El problema no usa "técnicas muy avanzadas", en el sentido de que todo lo que se usa se ve en los primeros cursos de cálculo. El chiste es que hay que aplicar de manera muy creativa estas técnicas.
  • El denominador $\frac{1}{2}+\ldots+\frac{n}{n+1}$ tiene que ver con logaritmo. Si te das cuenta, cada término es de la forma $1-\frac{1}{k}$ y sumando las cosas de la forma $\frac{1}{k}$ tienes la serie harmónica (y por tanto la inspiración de usar logaritmo). Así que se puede reescribir como $n+1-\ln (n+1)- a_n$, donde $a_n$ es una constante que depende de $n$.
  • Es un hecho conocido que la sucesión $a_n$ converge a una constante que se llama la constante de Euler-Mascheroni. Puedes aprender de esto en la Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
  • Tenemos potencias, así que esto nos motiva a sacar otro logaritmo, esta vez de toda la expresión. Ahora tienes un logaritmo en el denominador. Intenta escribir una expresión de la forma $\ln (1-x)$ para poder usar la serie de Taylor de $\ln (1-x)$. No uses tantos términos de Taylor, nada más los primeros y los demás ve que son $O(\left(\frac{\ln n}{n}\right)^2)$.
  • A partir de aquí son cuentas un poco estándar. Hay que recordar que $\ln{n}/n$ se va a $0$, utilizar lo de la constante de Euler-Mascheroni, y recordar aplicar $e^x$ al final.
  • El límite debe darte $e^{\gamma -1}$, donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Bueno, espero que sean de ayuda estas sugerencias.

respondido por Leo Martinez (3,910 puntos) Sep 3, 2013
seleccionada por j_ariel Sep 3, 2013
Al principio me enredé un poco con los logaritmos y quería sacar límite "antes de tiempo", pero al final salió con las valiosas pautas que me diste. ¡Muchas gracias! Nunca me hubiera esperado ese límite :P
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