• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Círculos coplanares con áreas compartidas.

+1 voto

Sean los círculos coplanares C₁, C₂, de radio "r", tal que C₁ ∩ C₂ ≠ ∅.

Un nuevo círculo C₃ (de igual tamaño que los otros) es dibujado en el mismo plano, de modo que (C₁  C₂) ∩ C₃ ≠ ∅.

¿Cuál es la probabilidad de que C₁  C₂ ∩ C₃ ≠ ?

 

preguntado por Michel Anthony (21,400 puntos) Sep 5, 2013 en Problemas

1 Respuesta

+2 votos
Bueno, ya que duró mucho pondré mi respuesta, a pesar de que no me gusta mucho.

Note que $C_1 \cap C_2 \cap C_3 \neq \emptyset$ depende únicamente de la posición del centro de $C_3$.

Entiendo que estamos pensando que cualquier punto en el plano tiene la misma probabilidad de ser el centro del círculo, de modo que la probabilidad sea precisamente el cociente de las áreas de las regiones $A$ y $B$ donde $A$ es la región donde, si el centro del círculo $C_3$ está en $A$ entonces $C_1 \cap C_2 \cap C_3 \neq \emptyset$ y $B$ es la región del plano tal que si el centro está en $B$ entonces $ ( C_1 \cup C_2) \cap C_3 \neq \emptyset$.

Digamos que los centros de los círculos estan a una distancia $2d$ con $0 \leq d \leq r$. No es difícil ver que $B = C'_1 \cup C'_2$ y $A = C'_1 \cap C'_2$con $C'_1$ $C'_2$ círculos de radio $2r$ y $C'_i$ concentrico a $C_i$. Podemos calcular entonces el área de $A$ y de $B$ en función de $d$ y $r$.

Sea $O_1$ el centro de $C'_1$, $P$ uno de los puntos de intersección de las fronteras de $C'_1$ y $C'_2$,  $M$ el punto medio de los centros y $Q$ la intersección de la frontera de $C'_1$ con el segmento que une los centros. Note que el área de $A$ es $4$ veces el área de la región circular $R$ determinada por el arco $PQ$ menos el área del triángulo rectángulo $O_1 M P$, en símbolos:

$$Area(A) = 4 (Area(R) - Area(O_1 M P) ) $$

Note que el área del triángulo es $\frac{d \sqrt{(2r)^2-d^2} }{2}$ y $Area(R)=\frac{\arccos(\frac{d}{2r})}{2} (2r)^2$. De modo que

 

$$Area(A) = 2 ( \arccos(\frac{d}{2r}) - d \sqrt{(2r)^2-d^2}) $$

El área de $B$ es claramente $ 2 \pi (2r)^2 - Area(A) =2( \pi (2r)^2 -  (\arccos(\frac{d}{2r}) - d \sqrt{(2r)^2-d^2}) ) $. Por lo tanto, la probabilidad es:

 

$$\frac{( \arccos(\frac{d}{2r}) - d \sqrt{(2r)^2-d^2})}{  \pi (2r)^2 -  (\arccos(\frac{d}{2r}) - d \sqrt{(2r)^2-d^2}) }$$
respondido por Antonio Montero (2,010 puntos) Sep 10, 2013
¡Gracias por ocuparse, Antonio!

Su desarrollo de la idea es correcto. Aquí muestro 2 observaciones:

1) Dado que los círculos Ci' tienen radio "2r", las expresiones para las áreas de A y B deberían ser calculadas usando tal valor [entiendo que, por error, fueron evaluadas usando los círculos Ci, de radio "r"].
Totalmente de acuerdo, error de distracción. Gracias!
** La de fondo **

2) El valor de la distancia entre los centros (que fue llamada "2d") no es un dato..por tanto, el problema se entiende de modo más general, es decir, que debe considerarse los infinitos casos, para todos los posibles valores de "2d".
Va por buen camino, Antonio..¡adelante!
Creo que no entiendo entonces. Claramente la probabilidad depende de $d$ y depende de manera continua.
Justamente, el caso es que no se conoce el valor de $ \textbf{d} $, por lo cual debe tenerse en cuenta un cálculo diferencial/integral de la probabilidad. La función que se ha hallado, vale para un "diferencial de $ \textbf{d} $", etc.
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...