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Existencia de grupos abelianos

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¿Existe algún grupo abeliano $G$ tal que $|G|=\aleph_0$ y además que para todo $x\in{G}, \ x^2=1$. ?, si existe ¿es único?,  además que se puede decir para $\aleph_0<|G|$.
preguntado por Izzyro (6,260 puntos) Sep 6, 2013 en Básicas
editado por Izzyro Sep 6, 2013

2 Respuestas

+3 votos
 
Mejor respuesta
Complementando la respuesta de Daniel, dicho grupo es único salvo isomorfismo. La propiedad crucial aquí es que, si $G$ es un grupo Booleano (es decir, $x^2=1$ para todo $x\in G$ --y esto implica que $G$ es abeliano), entonces se puede equipar a $G$ con una estructura de espacio vectorial sobre $\mathbb Z_2$, el campo con dos elementos. Esto no es difícil, lo único que hay que definir es qué significa multiplicar un elemento $g\in G$ por un escalar $\alpha\in\mathbb Z_2$, lo cual se hace estipulando que $0\cdot g=0$ y $1\cdot g=g$. Entonces, como $G$ es un espacio vectorial, ha de tener una base $B$, y consideraciones de cardinalidad implican que $|B|=\aleph_0$. Así pues, siempre que $G$ sea Booleano y de cardinalidad $\aleph_0$, entonces es isomorfo, como espacio vectorial, al único espacio vectorial sobre $\mathbb Z_2$ de dimensión $\aleph_0$. Nótese que cualesquiera dos espacios vectoriales de la misma dimensión son isomorfos, y que un isomorfismo de espacios vectoriales es en particular un isomorfismo de grupos aditivos. Por lo tanto, $G$ es único salvo isomorfismo.

El mismo razonamiento aplica para cualquier cardinal infinito $\kappa\geq\aleph_0$, es decir, si $G$ es un grupo Booleano de cardinalidad $\kappa$, entonces $G$ es isomorfo al único espacio vectorial sobre $\mathbb Z_2$ de dimensión $\kappa$. Recíprocamente, para cada $\kappa$ puedes considerar el conjunto de funciones con soporte finito de $\kappa$ en el grupo con dos elementos, con lo cual sabes que existe al menos un grupo Booleano de cardinalidad $\kappa$. La conclusión es que para cada cardinal infinito $\kappa$ existe un único grupo Booleano de cardinalidad $\kappa$, salvo isomorfismo.

Esto contrasta con la situación para cardinales finitos. Si $G$ es un grupo Booleano finito, entonces, dado que $G$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb Z_2$, si $n$ es su dimensión, tendremos que $|G|=2^n$. Recíprocamente, el producto directo de $n$ copias de $\mathbb Z_2$ siempre produce un grupo Booleano de cardinalidad $2^n$. Por lo tanto, en el caso finito, la existencia y unicidad del grupo Booleano de cardinalidad $m$ sucede si y sólo si $m$ es una potencia de 2.

Por último, quisiera mencionar que todo este asunto de las cardinalidades depende del axioma de elección. Es decir, para cada cardinal $\kappa$, el hecho de que el conjunto de funciones con soporte finito, de $\kappa$ en un conjunto de dos elementos, tiene cardinalidad $\kappa$, es equivalente al axioma de elección. De hecho, el axioma de elección es equivalente a que para cada cardinal $\kappa$ exista un grupo abeliano de cardinalidad $\kappa$ (si te piqué adecuadamente la curiosidad, te recomiendo checar el Teorema 20, pág. 142, del libro de Just y Weese "Discovering Modern Set Theory I").
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Sep 6, 2013
seleccionada por Izzyro Sep 26, 2013
De hecho como mencionas al final para grupos finitos que el orden de dicho grupo es $2^m$ para alguna natural $m$, y además dicho grupo según yo, lo construyes considerando el potencia de algún conjunto con $m$  elementos y definiendo una operación similar a la diferencia simétrica de conjuntos.
Lo que se me hace interesante es lo que dices: "De hecho, el axioma de elección es equivalente a que para cada cardinal $κ$ exista un grupo abeliano de cardinalidad $κ$"

De hecho he querido leer algo de cardinales pero en realidad nunca he podido abordarlo de manera adecuada.
Iziro, te recomiendo el libro introductorio Teoría de Conjuntos Una introducción, de Fernando Hernández Hernández, tercera edición de la Sociedad Matemática Mexicana, Textos Nivel Medio número 13, 2011. Supe que van a reimprimirlo pronto. En los capítulos 7 y 10 abordan el tema de cardinales. Saludos _\m/
Exacto, el grupo Booleano de cardinalidad $2^n$ no es otra cosa que el conjunto potencia de algún conjunto con $n$ elementos, y la operación es la diferencia simétrica. Lo mismo pasa con cardinales infinitos: agárrate un conjunto $X$ con $\kappa$ elementos, y considera el conjunto "potencia finita" de $X$ (es decir, el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $X$), de nuevo equipado con la diferencia simétrica como operación. Este es exactamente el único (salvo isomorfismo) grupo Booleano de cardinalidad $\kappa$. El axioma de elección es equivalente a que todo conjunto $X$ sea equipotente a su propia "potencia finita".
+3 votos
Puedes considerar el conjunto de funciones de soporte finito (i.e. la imagen es el neutro aditivo excepto en una cantidad finita) de los naturales al grupo con 2 elementos, equipado con la suma usual (es dicir, la imagen del natural n bajo la suma de las funciones f y g es la suma de las imágenes de n bajo f y g). Por considerarse únicamente las funciones de soporte finito, el conjunto obtenido es numerable. También es sencillo verificar que es grupo y que satisface la propiedad que planteas.
respondido por Daniel Pellicer (2,220 puntos) Sep 6, 2013
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