• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






¿Es válido el argumento? (Análisis 1)

+1 voto

Hola, en un ejercicio tengo una sucesión $\{ x_n \}$ en los reales, de manera que $x_1$ es cierto valor fijo, y $x_{n+1}$ depende de una constante y de $x_n$ (i.e. es recursiva) para $n$ natural. Yo ya demostré que la sucesión converge, pero el ejercicio pide demostrar que el límite es cierto valor particular.

Mi duda es: si ya probé que converge, ¿puedo poner "sea $\alpha$ el límite de la sucesión", luego agarrar la fórmula recursiva para tomar límites en los dos lados de la ecuación, y sustituir $x_{n+1}$ y $x_n$ por $\alpha$? Haciendo eso ya obtengo el límite que pide el problema, pero no se si sea suficientemente formal ese paso. Muchas gracias.


Anexo. Creo que es un problema típico de sucesiones. Dado un real positivo fijo $a$, se define $x_1$ como algún real mayor que $\sqrt{a}$. De ahí, se define la sucesión $\{x_n\}$ como:

\[ x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n}\right) \]

Hay que probar que la sucesión converge a la raíz cuadrada de $a$. Ya probé que la sucesión converge, llamé $\alpha$ al límite, y al "tomar límites en los dos lados" obtuve la ecuación:

\[ \alpha = \frac{1}{2} \left( \alpha + \frac{a}{\alpha} \right) \]

Suponiendo que eso lo puedo hacer, la ecuación me da dos soluciones: $\alpha = \pm \sqrt{a}$. Pero como la sucesión es positiva, entonces descarto el valor negativo, y por lo tanto $\alpha = \sqrt{a}$, que era lo que me pide el problema.

preguntado por j_ariel (350 puntos) Sep 10, 2013 en Análisis real
editado por j_ariel Sep 11, 2013

1 Respuesta

+4 votos
 
Mejor respuesta
Supongo que tienes algo asi como $x_{n+1}=f(x_n)$ para una funcion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Entonces lo que pides depende de la funcion $f$.

Por ejemplo, si $x_n =\frac{1}{n}$ y $f$ es la funcion que manda $\frac{1}{n}$ a $\frac{1}{n+1}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y $f(x)=7$ para todos los demas numero reales $x$. En este caso claramente $x_n$ converge y ahora tu metodo seria buscar $\alpha$ tal que $f(\alpha)=\alpha$. Aqui claramente la unica $\alpha$ que cumple esto es $7$. Sin embargo, dudo que tengas una formula recursiva asi de fea :)

En cambio si $f$ es continua entonces $x:=\lim x_n = \lim x_{n+1} = \lim f(x_n) = f(\lim x_n) = f(x)$. El unico problema aqui es que en principio podrian existir varios $y$ con $f(y)=y$. Pero dependiendo de tu caso en particular, puede ser facil encontrar el valor correcto.

En resumen, si nos dices cual es la forma recursiva, entonces podriamos ver si es correcto o no.

 

Anexo:

 

Pues si, en este caso $f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})$ es una funcion continua de los reales positivos en ellos mismos. Tu ya probaste que la sucesion converge y ademas es facil ver que $\alpha>0$. Entonces $\alpha$ debe cumplir $f(\alpha)=\alpha$ como ya comente arriba. Ademas en este caso $\sqrt{a}$ es el unico valor en el dominio de la funcion que cumple esto, asi que ya terminaste.
respondido por Carlos (17,280 puntos) Sep 11, 2013
seleccionada por j_ariel Sep 11, 2013
Gracias por la respuesta. Anexé el problema particular que tengo, y un esbozo de la solución tomando como válido ese paso de sustituir "a la brava" el límite.
Muchas gracias!
Un comentario rapido: No sustituyes el limite a la brava. El truco esta en que $\lim x_n = \lim x_{n+1}$.
Precisa la observación de Rodrigo, garantizando la formalidad del asunto.
Pues si. Eso es lo que escribí arriba.
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...