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Problema de triángulo.

+1 voto
Si $x,y,z$  son enteros tales que $x^2+y^2=z^2$ entonces $xyz\equiv{0} \ mod(60)$

Es un problema que lo pongo tal cuál, de un libro de André Weil, o almenos yo lo encontré ahí.

Igual puede ser  un buen ejercicio.
preguntado por Izzyro (6,260 puntos) Sep 13, 2013 en Interés general
editado por Izzyro Sep 13, 2013

1 Respuesta

+3 votos
 
Mejor respuesta

A. $xyz$ es divisible por $3$.

Si alguna entrada de $(x,y,z)$ es divisible por $3$, terminamos. En otro caso $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ es igual con 2 en módulo 3, pero esto es imposible pues los cuadrados de los enteros que no son divisibles por $3$ son $1$ en módulo $3$.

B. $xyz$ es divisible por $5$.

Si alguna entrada de $(x,y)$ es divisible por $5$, terminamos. En otro caso, $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ es igual con $0$, $2$ ó $3$ en módulo $5$. En el primer caso hay nada más que hacer pues tendríamos $5 | z$, de donde se desprende que $5 | xyz$. Los otros dos casos son imposibles pues los cuadrados perfectos son $0$, $1$ ó $4$ en módulo $5$.

C. $xyz$ es divisible por $4$.

Si alguna entrada de $(x,y)$ es divisible por $4$, terminamos. En otro caso o ambas entradas son pares (pero no divisibles por $4$) o exactamente una de las dos lo es. En el segundo caso tendríamos que $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ es igual a $5$ en módulo $8$, lo cual es ciertamente imposible pues los cuadrados perfectos son $0$, $1$ ó $4$ en módulo $8$. En el primer caso la conclusión deseada es automática.

El resultado se sigue ahora de A, B, C y del hecho que mcd($3$,$4$,$5$) = $1$.

respondido por José Hdz (39,570 puntos) Sep 13, 2013
seleccionada por Izzyro Sep 15, 2013
De este problema no había visto su interpretación geométrica.
Exacto: en un triángulo rectángulo con lados de longitud entera, el producto de las longitudes es siempre divisible por 60.
Debe haber otros que  se resuelvan así como este y tengan una interpretación geométrica interesante.
Quizás quieras echarle un ojo a esta nota del Prof. Zaldívar: http://tinyurl.com/klh36e7
Interesante artículo, ay viene el problema del triángulo de Fermat.
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