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Un "quickie" de grupos

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Demuestre que si un grupo finito $G$ tiene un subgrupo de orden $\underbrace{111...11}_\textrm{60 unos}0,$ entonces
$|G|$ es un múltiplo de $2013$.

(Con el número del año y todo...)
preguntado por José Hdz (39,570 puntos) Sep 14, 2013 en Problemas

1 Respuesta

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Mejor respuesta

Llamemos $N = \underbrace{1 \ldots 1}_\textrm{60 unos}$.

  1. La suma de los dígitos de $N$ es $60$, que es múltiplo de $3$. Por lo tanto $3$ divide a $N$.
  2. La suma de los dígitos en posición par es igual a la suma de los dígitos en posición impar. Por lo tanto, $11$ divide a $N$.
  3. El número $61$ es primo, así que $\varphi(61) = 60$. Como $10$ y $61$ son primos relativos, el teorema de Euler nos da $10^{60} \equiv 1 \pmod{61}$; o lo que es lo mismo, $61 \big| 10^{60}-1 = \underbrace{9 \ldots 9}_\textrm{60 nueves} = 9 N$. Pero $9$ y $61$ son primos relativos, así que $61$ divide a $N$.
  4. El grupo $G$ tiene un subgrupo de orden $10 \cdot N$. Como el orden de un subgrupo de $G$ divide al orden de $G$, tenemos que $N$ divide a $|G|$.

 

Por lo tanto $2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61$ divide a $N$ que a su vez divide a $|G|$ y ya.

(Esta demostración sólo es válida durante años cuyo número divide a $\underbrace{1 \ldots 1}_\textrm{n unos}$ para alguna $n \geq 1$.)

respondido por Rodrigo Pérez (10,010 puntos) Sep 14, 2013
seleccionada por José Hdz Sep 15, 2013
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