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Morfismo de un grupo en el grupo simetrico

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Para todo grupo de orden $n$ hay un morfismo inyectivo en el grupo $S_n$, ¿se puede mejorar dicho morfismo en algún $S_k$ con $k<n$?.

¿Por ejemplo se puede encontrar morfismos inyectivos en $S_k$ con $k<8$ para los grupos de orden 8 no abelianos?.
preguntado por Izzyro (6,260 puntos) Sep 14, 2013 en Avanzadas
Ésta está muy bonita.
Un ejemplo extremo es $S_n$ mismo, que tiene orden $n!$. Obviamente además del morfismo inyectivo $S_n \to S_{n!}$ existe uno $S_n \to S_n$. :)

1 Respuesta

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Mejor respuesta

Afirmación. La respuesta a la segunda pregunta es afirmativa para

$D_{8}= \langle s,t : s^{4}=t^{2} = e, tst = s^{-1} \rangle$

y negativa para

$\mathbf{Q} = \{\pm 1, \pm i , \pm j, \pm k\}$ (con el producto determinado por las relaciones que Hamilton grabó en el puente Brougham: $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$. [El enlace a la foto es cortesía de Omar Antolín.]).

Demostración. Para establecer lo primero, consideremos el subgrupo $H=\langle t \rangle$ de $D_{8}$. Este es un subgrupo de orden $2$ y que no es normal. Si denotamos con $S$ al conjunto de las clases laterales derechas de $H$ en $G$ entonces $|S|=[D_{8}:H] = 4$ y podemos definir un homomorfismo $f$ de $D_{8}$ en el grupo $A(S)$ de las aplicaciones biyectivas de $S$ en sí mismo de la siguiente manera: para cada $g \in G$, sea $t_{g}: S \to S$ la función definida por $t_{g}(Hx) = Hxg^{-1}$. Es fácil verificar que $t_{g} \in A(S)$ para cada $g \in G$ y además que $t_{gh} = t_{g} \circ t_{h}$. En consecuencia, $f: D_{8}  \to A(S)$ definida por $f(g) = t_{g}$ es un homomorfismo de $D_{8}$ en $A(S)$. Además, puesto que $\mathrm{Ker}(f) \subseteq H$ y $H$  no es subgrupo normal de $D_{8}$ entonces $\mathrm{Ker}(f) =\langle e \rangle$. Ergo, sí hay un homomorfismo inyectivo de $D_{8}$ en $S_{4}$.

Para establecer la segunda parte de nuestra afirmación, bastaría con mostrar que no es posible dar un homomorfismo inyectivo de $\mathbf{Q}$ en $S_{7}$. Procedamos por reducción al absurdo. Si $F: \mathbf{Q} \to S_{7}$ es un homomorfismo inyectivo entonces la acción $\phi: \mathbf{Q}\times \{1,2, \ldots, 7\} \to \{1,2, \ldots, 7\}$ definida por $\phi(g,x) = F(g)(x)$ es fiel (i.e., si $g_{1}, g_{2}$ son elementos diferentes de $\mathbf{Q}$ entonces existe $x \in \{1,2, \ldots, 7\}$ tal que $F(g_{1})x \neq F(g_{2})x$). Por otro lado, por el teorema "órbita-estabilizador", $\mathrm{Stab}(x)$ es no trivial para cada $x \in \{1,2,\ldots,7\}$ y por consiguiente $\displaystyle \langle -1 \rangle \subseteq \bigcap_{x\in \{1,2,\ldots, 7\}} \mathrm{Stab}(x)$. Esto último contradice el hecho que la acción $\phi$ es fiel y la prueba termina.

respondido por José Hdz (39,570 puntos) Sep 14, 2013
seleccionada por Izzyro Sep 15, 2013
Así, la respuesta a la primer pregunta es "no siempre". Saludos.
Y se ve lejos el problema de dar condiciones para un grupo arbitrario, para que exista dicho morfismo,
Bueno, lo hecho en el caso de $D_{8}$ dice que una condición suficiente para que la respuesta sea afirmativa en un grupo finito $G$ es que tenga un subgrupo  $H$ no normal y simple.
Para el grupo dihédrico de orden $8$  es más fácil si usas la definición como el grupo de simetrías de una cuadrado: las simetrías permutan los $4$ vértices del cuadrado lo cual da un homomorfismo a $S_4$, y es inyectivo pues una isometría del plano está determinada por dónde manda los vértices del cuadrado (incluso $3$ de ellos bastan).
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