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ESPACIOS DUALES

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En los espacios $l^{p}$ sabemos que el dual de $l^{p}$ es $l^{q}$ , siendo $p y q$ conjugados. Tambien que $l^{\infty}$ es dual de $l^{1}$. Cuál es dual de $l^{\infty}$. Será $l^{1}$.
preguntado por Raul Tintaya (1,240 puntos) Sep 16, 2013 en Retos

1 Respuesta

+2 votos
Espero no estar confundiendo $l^\infty$ con otro espacio, voy a contestar suponiendo que es el conjunto de funciones acotadas $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ (con la norma del supremo). El dual es el espacio $\mathbf{ba}$ de medidas con signo acotadas finitamente aditivas sobre $\mathbb{N}$, es decir, funciones acotadas $\mu : \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{R}$ tales que $\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)$ cuando $A$ y $B$ son ajenos. En efecto, dada $\Phi \in (l^\infty)^\ast$, podemos definir $\mu_\Phi(A) := \Phi(\chi_A)$ y claramente obtenemos una función acotada y aditiva. En la otra dirección, dada una de esas $\mu$, imitando la definición usual de la integral puedes definir $\Phi_\mu(f):=\int f \; d\mu$ donde $f$ es una función $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ acotada.

Cualquier función $f \in l^1$ da una medida en $\mathbf{ba}$ por medio de $\mu_f(A) := \sum_{a\in A} f(a)$, pero hay muchísimas medidas más que no son nada obvias. Por ejemplo, dado cualquier ultrafiltro $\omega$ sobre los naturales, la medida $\mu_\omega$ dada por $\mu_\omega(A) := 1$ si $A \in \omega$ y $\mu_\omega(A) = 0$ si no, es un ejemplo de una medida finitamente aditiva que solo toma los valores $0$ y $1$.
respondido por Omar Antolín (32,660 puntos) Sep 16, 2013
editado por Omar Antolín Sep 16, 2013
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