Por inspección, $x = ab/c$, $y = bc/a$, $z=ac/b$ es una solución. Como el sistema es lineal en $x,y,z$ y el determinante de la matriz de coeficientes es el clásico determinante de Vandermonde, (a saber, $(a-b)(b-c)(c-a)$), que es una función racional distinta de $0$, esta es la única solución en el campo de funciones racionales en $a$, $b$ y $c$.
Si $a$, $b$ y $c$ denotan números en lugar de variables (el problema no dice), nos queda un poco más de trabajo por hacer. Para empezar, debemos suponer que los tres son distintos de cero, pues hay un $abc$ en el denominador en la segunda ecuación. Si $a$, $b$ y $c$ son distintas entre sí, por lo que dijimos arriba la solución mostrada es la única.
Si, digamos, $a=b \neq c$, entonces, realmente tenemos un sistema de ecuaciones para $x$ y $y+z$. Por ejemplo, la última ecuación se vuelve $c^2 x + a^2 (y+z) = 3a^2c$. Ya sabemos que este sistema de 3 ecuaciones y 2 variables ($x$ y $y+z$) es consistente (porque ya dimos una solución en el primer párrafo), y como el determinante de la matriz de coeficientes de las primeras dos ecuaciones es $c-a \neq 0$, la solución es única. En resumen, en este caso, las soluciones son $x = a^2/c$, $y$ arbitrario, $z = 2c-y$.
Algo análogo pasa si $a=c\neq b$ o si $a \neq b=c$.
Finalmente, si $a=b=c$, las tres ecuaciones son equivalentes a $x+y+z = 3a$.