Resolver el Sistema de Ecuaciones en "x", "y", "z".

Question

Bueno, les compartiré algunos RETOS (ALGEBRAICO, en este caso), como para relajarse: suelo crearlos, y siempre analizo/resuelvo antes de plantear...no es  mi tarea, jejeje. Muchos hallarán la solución, ¡claro!..al nivel de la mayoría, aquí, eso es lógico. La idea es compartir análisis y procedimiento, para quien se dé el tiempo. Gracias.

[Sé que para muchos matemáticos es un simple "resolver", con 100% de certeza al proceder..y coincidimos, sí;..mas, igualmente, puede que a algunos, licenciados ó aficionados, le guste practicar para seguir "en forma", especialmente docentes de secundaria, bachillerato, etc.]

➜ Halla el conjunto solución (x; y; z), en:
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cx + ay + bz = ab + bc + ac

x + y + z = (a²b² + b²c² + a²c²) ÷ (abc)

c²x + a²y + b²z = 3abc

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No sean modestos, chicas y chicos: ¡adelante! 

Answer 1

Por inspección, $x = ab/c$, $y = bc/a$, $z=ac/b$ es una solución. Como el sistema es lineal en $x,y,z$ y el determinante de la matriz de coeficientes es el clásico determinante de Vandermonde, (a saber, $(a-b)(b-c)(c-a)$), que es una función racional distinta de $0$, esta es la única solución en el campo de funciones racionales en $a$, $b$ y $c$.

Si $a$, $b$ y $c$ denotan números en lugar de variables (el problema no dice), nos queda un poco más de trabajo por hacer. Para empezar, debemos suponer que los tres son distintos de cero, pues hay un $abc$ en el denominador en la segunda ecuación. Si $a$, $b$ y $c$ son distintas entre sí, por lo que dijimos arriba la solución mostrada es la única.

Si, digamos, $a=b \neq c$, entonces, realmente tenemos un sistema de ecuaciones para $x$ y $y+z$. Por ejemplo, la última ecuación se vuelve $c^2 x + a^2 (y+z) = 3a^2c$. Ya sabemos que este sistema de 3 ecuaciones y 2 variables ($x$ y $y+z$) es consistente (porque ya dimos una solución en el primer párrafo), y como el determinante de la matriz de coeficientes de las primeras dos ecuaciones es $c-a \neq 0$, la solución es única. En resumen, en este caso, las soluciones son $x = a^2/c$, $y$ arbitrario, $z = 2c-y$.

Algo análogo pasa si $a=c\neq b$ o si $a \neq b=c$.

Finalmente, si $a=b=c$, las tres ecuaciones son equivalentes a $x+y+z = 3a$.

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Gracias, Omar Antolín, por darse tiempo para este ejercicio.

Dado su nivel, es obvio que sabe Ud. bien como llegar a los resultados que mencionó: x=ab/c, y=bc/a, z=ac/b, los cuales, en efecto, conforman los valores de la terna única de solución, en el caso de sistema compatible determinado (para a≠b ∧ b≠c ∧ c≠a); así como también, para el caso de "2 constantes iguales".

En la introducción previa al enunciado, mencioné que el reto era 'algebraico': me disculpo si dicha descripción no es del suficiente rigor o no explicita adecuadamente el carácter que quise manifestar para las cantidades:

* Por defecto, usamos la convención de trabajo exclusivo en ℝ [no cuenta el "sistema ampliado de números reales, con ∞, -∞, etc.; tampoco el campo imaginario; ni vectorial, matricial, tensorial, etc.], tanto de operaciones como de cantidades.

* x, y, z son las 3 variables numéricas cuyas (combinaciones de) valores se ha de encontrar [al pedir "hallar el conjunto solución (x; y; z)", se procura dar a entender ello].

* a, b, c son constantes numéricas.
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Veo que ha referenciado a los "determinantes"; imagino que, más allá de la "inspección" (quizá visual) de su parte, usaría Ud. aquel método de cálculo de valores ("Regla de Cramer")..mas no dudo que para Ud. es un "asunto menor" ese hallazgo operativo.

Por lo demás, su análisis sobre la consistencia del sistema, para cada caso, es excelente, completo. Felicitaciones, siga aportando, para enriquecimiento de todos.

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Fuí sincero cuando dije inspección: pensé "la solución más simétrica a la primer ecuación sería que $cx=ab$, etc.", sustituyendo en las otras ví que funcionaba. Siento que vale la pena hacer tantito ensayo y error primero, por si acaso el sistema es fácil. Y acerca de la regla de Cramer: usualmente la evito para resolver sistemas porque en mi experiencia usarla es trabajar de más (para sistemas sencillos o muy simétricos es más fácil adivinar la solución, para sistemas más complicados es menos trabajo usar eliminación gaussiana). En cambio, como herramiento teórica, para probar teoremas, la regla de Cramer me parece razonablemente útil.