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Derivadas de funciones trascendentes

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Tengo una duda al respecto. Si la derivada se puede considerar como la pendiente de la recta tangente a una curva, ¿por qué las derivadas de las funcioes trigonométricas (y demás funciones trascendentes) son tan distintas? Sé que al realizar el cociente de diferencias se obtienen tales resultados, pero no me queda clara la relación que existe entre estas funciones y sus derivadas como la que hay entre una función lineal o cuadrática y su derivada (que hasta parece intuitivo el concepto de razónde cambio).
preguntado por Diego (160 puntos) Sep 18, 2013 en Básicas
Creo que no queda muy claro que es lo que estas preguntando. A que te refieres con que las derivadas son "tan distintas"? A que relaciones te refieres? por ejemplo, cual es la relacion tan clara que mencionas entre una funcion cuadratica y su derivada? por que esta te es tan clara y la de $\sin$ no?
Me refiero  a que en una función cuadrática al derivarla se obtiene una recta con tal pendiente, y si por ejemplo, esto se aplica aun problema de movimiento se entiende  cómo es que está variando una partícula su posición o velocidad. En cambio la función seno que su derivada es coseno ¿cómo es que esto se pueda plantear en términos de una variación? No sé si me doy a entender o mis ideas sean incorrectas.
Al derivar la funcion seno tambien te da el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva de la funcion. Es decir, si dibujas la recta con pendiente $\cos(x)$ y que pasa por el punto $(x,\sin(x))$ te da la recta tangente a la curva $(t,\sin(t))$ en este punto. Esto es siempre asi con la derivada de una funcion cualquiera $f$. O creo que sigo sin entender tu duda.
Sí eso es, conocer la recta tangente de una función como lo es seno. Gracias por comentar

1 Respuesta

+4 votos
 
Mejor respuesta

Felicidades. Tropezaste con la pregunta mas importante para dar el salto de las Matemáticas clasicas a las Matemáticas modernas. La cuestión que te preocupó fué con funciones trascendentes, pero el quid del asunto es entender qué es una derivada. Voy a dar una explicación larga, pero al final regreso a tu pregunta original y veras que escondia un punto muy importante. Te aviso de antemano, la respuesta es anticlimática; pero si entiendes toda la explicación tendras un punto de apoyo muy fuerte para avanzar mas tarde.

Empecemos con Newton, quien no tenia ni idea de lo que es una función. El queria entender trayectorias concretas; reales. Sus metodos son geometricos y muy poco rigurosos. De él nos viene el pensar en derivadas como tangentes y el aproximar tangentes por secantes.

¡Pero cuidado! Una derivada no es una linea tangente. Cuando tienes las mejores mentes del mundo tratando de entender el paso gigantesco que es el Cálculo, de explicarlo y desarrollarlo, llegas eventualmente al concepto de función, y un tratamiento al estilo de Cauchy. Defines lo que es una función (mas o menos), defines el proceso de ir al límite, y defines un límite especial de cocientes que te da otra función nueva a partir de una función dada. De aquí viene el nombre de derivada (función derivada por un método de límites a partir de la original). Eso esta muy bien porque permite ser mucho mas formales, lo cual es imprescindible para problemas mas complicados.

¡Pero cuidado! Una derivada tampoco es una función. Este paso es mas delicado y pocas veces es bien explicado en las clases de Cálculo. Que pasa en varias variables? Pasa que tu función $F: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ come $m$ variables y escupe $n$ valores. Entonces tienes muchas derivadas distintas, pero ninguna que coma $m$ valores y escupa $n$.  Esto era claro para Gauss y compania, y pudieron desarrollar el Teorema de Green y Electromagnetismo y esas cosas, pero no quedaba claro todavia lo que es LA derivada de una función.

Asi, llegamos al Siglo XX y el desarrollo de la abstracción. Lo que se necesita es un buen planteamiento del Algebra Lineal (con espacios vectoriales abstractos y todo). Entonces das un vistazo de regreso al Cálculo y te das cuenta que todo encaja. La derivada de tu función $F$ en un punto dado está representada por una matriz de $m \times n$ y entonces la puedes pensar como una función lineal de $\mathbb{R}^m$a $\mathbb{R}^n$.

Asi que la derivada de $F$ es un objeto muy raro: ¡Es una regla que a cada punto $u \in\mathbb{R}^m$ le asigna (no otro punto, sino) una función lineal $T(u)$! La interpretación geometrica es muy clara:

  1. Toma una vecindad de $u$ en $\mathbb{R}^m$.
  2. Cambia de coordenadas para poner $u$ en el origen.
  3. Aplica la función lineal $T(u)$.
  4. Cambia de coordenadas para llevar el origen a $F(u)$.
  5. Lo que te queda es aquella función afín que mejor aproxima a $F$ cerca de $u$.

Regresemos a una dimensión. Cuando $f$ es de una sola variable, tenemos suficientes dimensiones para poder dibujar la gráfica de $f$. La recta tangente para un $x$ dado es la gráfica de la función afín que mejor aproxima a $f$ alrededor de $x$. La derivada es la regla que para cada punto $x$ calcula la matriz $f'(x)$ de $1 \times 1$ (o sea un número) y que a $x$ le asigna la función lineal $v \mapsto f'(x) \cdot v$ (aquí, $v$ es de una dimensión, es decir, otro número). Pero como eso es muy abstracto nos enseñan a quedarnos a medio camino, pensando que la derivada es la función $x \mapsto f'(x)$.

 

Ahora regresamos a tu pregunta (¡úf!). Cuando decimos que la derivada de $\tan(x)$ es $\sec^2(x)$ nos hemos quedado a medias. La derivada de verdad se toma un $x_0$, calcula el valor $\alpha = \sec^2(x_0)$, y le asocia a $x_0$ la función lineal $v \mapsto \alpha \cdot v$ (multiplicar el número $v$ por el número $\alpha$).

La gráfica de dicha función es una linea recta de pendiente $\alpha$, y si la trasladas para que pase por el punto $\big( x,\tan(x) \big)$, sera tangente a la gráfica de $f$ pues vista como una función es la que mejr aproxima a $f$ en ese punto.

La respuesta a tu pregunta es que estás tratando de relacionar la gráfica de una función con la gráfica de otra función que describe las constantes de todas las funciones lineales dadas por la derivada. Eso ya no es tan directo como uno quisiera y así es como uno se hace bolas. Pero si piensas en aproximar tu función original alrededor de $x$ por una función afín, entonces todo funciona bonito, independientemente de si $f$ es transcendente, polinomial o lo que sea...

respondido por Rodrigo Pérez (10,010 puntos) Sep 19, 2013
seleccionada por Diego Sep 21, 2013
Gracias por tomarte el tiempo en escribir esta explicación, me ayudó bastante, todo me queda más claro ahora. Estoy comenzando a estudiar Cálculo y no tenía idea de que una derivada se podía represetar por una matriz; o que no es una función: Seguiré investigando al respecto. Gracias.
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