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Base de Schauder

+1 voto
Mostrar q si un espacio normado $X$ posee base de Schauder, entonces $X$ es separable. Recuerda $\{e_{n}:n\in \mathbb{N}\}$ es base de Schauder, si para todo $x\in X$ ,existe una unica sequencia de escalares $\alpha_{n}$ tales que $x=\sum \alpha_{n}e_{n}$.
preguntado por Raul Tintaya (1,240 puntos) Sep 21, 2013 en Preguntas
editado por Raul Tintaya Sep 22, 2013
Será que todo espacio de Banach separable posee base de Schauder?
No. Enflo, P., ‘A counterexample to the approximation problem in Banach
spaces’, Acta Math. 130 (1973) 309–317
Me parece que, en tu definición de base de Schauder, invertiste el orden de los cuantificadores: realmente quieres decir: "para todo $x\in X$, existe una sucesión de escalares tal que..." (es decir, la sucesión depende de $x$).
Por cierto, ¿necesitas pedir unicidad de la sucesión de escalares? ¿o se sigue de la existencia?
tienes mucha razon David.

1 Respuesta

+2 votos
La idea es la siguiente: si $x=\sum_{n=1}^\infty \alpha_ne_n$, entonces $x$ está cerquita de las sumas finitas

$\sum _{i=1}^n \alpha_i e_i$, las cuales se aproximan fácilmente por otras sumas finitas con coeficientes racionales. Para ser más formales, sea $E=\mathbb Q$ si estamos considerando a $\mathbb R$ como el campo de escalares, o bien $E=\mathbb Q\times\mathbb Q$ si consideramos que es $\mathbb C$ el conjunto de escalares. El punto es que $E$ es un subconjunto denso y numerable del campo de escalares de nuestro espacio $X$, con $0\in E$. Ahora sea $\{e_n\big|n\in\mathbb N\}$ una base de Schauder para $X$. Notemos primero que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $|e_n|=1$ para cada $n\in\mathbb N$, pues cada $x\in X$ puede escribirse como $x=\sum_{n=1}^\infty\alpha_n e_n=\sum_{i=1}^\infty(\alpha_n|e_n|)\frac{e_n}{|e_n|}$. Ahora, afirmamos que el conjunto

$D=\{\sum_{i=1}^n q_ie_i\big|n\in\mathbb N\mathrm{\ y\ }(\forall i\leq n)(q_i\in E)\}$

es denso en $X$. Nótese que $D$ es un subconjunto numerable de $X$, dado que

$D=\bigcup_{n\in\mathbb N}\{\sum_{i=1}^n a_ie_i\big|(a_1,\ldots,a_n)\in E^n\}$

es una unión numerable de conjuntos numerables. Ahora bien, dado $x\in X$ y $\varepsilon>0$, se trata de encontrar un $y\in D$ tal que $|x-y|<\varepsilon$. Sea $x=\sum_{n=1}^\infty\alpha_ne_n$, y agarremos $n\in\mathbb N$ tal que $|x-x_n|<\frac{\varepsilon}{2}$, en donde $x_n=\sum_{i=1}^n\alpha_ie_i$ denota a la $n$-ésima suma parcial. Ahora, para cada $1\leq i\leq n$, agárrese $q_i\in E$ tal que $|\alpha_i-q_i|<\frac{\varepsilon}{2n}$, y tomemos $y=\sum_{i=1}^n q_ie_i\in D$. Entonces, tendremos que:

\begin{eqnarray*}

|x-y| & \leq & |x-x_n|+|x_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}+\left|\sum_{i=1}^n (\alpha_i-q_i)e_i\right| \\

 & \leq & \frac{\varepsilon}{2}+\sum_{i=1}^n|\alpha_i-q_i|<\frac{\varepsilon}{2}+n\frac{\varepsilon}{2n}=\varepsilon

\end{eqnarray*}

y ya la armamos (cuadrito).
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Sep 22, 2013
editado por David Fernández Sep 22, 2013
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