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Cuadrados perfectos: uno para amenizar la tarde

+1 voto
He aquí un bonito problema, especialmente dedicado a los aficionados a la teoría de números pero que posiblemente sea del agrado de todos:

Determine todos los pares ordenados $(m,n)$ de números naturales tales que tanto $m^{2}+5n$ como $n^{2}+5m$ son cuadrados perfectos.

¡Éxito!
preguntado por José Hdz (39,490 puntos) Sep 22, 2013 en Básicas
reetiquetada por José Hdz May 22, 2014
Aunque realmente dudo que alguien de nivel medio ande por estos rumbos.
Creo que tienes razón... Ampliaré la dedicatoria a ver si así hay más suerte.
Aunque sería bueno que se motivara a los chicos de prepa a visitar y  a preguntar en el foro.
Sí hay usuarios idóneos,..los hay de todos los niveles, creo; igual, creo que a muchos viene bien "estar en forma" en el proceder algebraico. Saludos!
Anímense pues compañeros...

1 Respuesta

+3 votos
 
Mejor respuesta
Escribamos $m^2 +5n = (m+k)^2$ para alguna $k>0$ y supongamos $m\geq n$. Entonces

$5m \geq 5n = 2mk + k^2$

de donde vemos que $k\leq 2$. Tenemos entonces dos casos:

$k=1$ implica que $(5n-1)/2=m$. Ahora sustituimos esto en la ecuacion $n^2 + 5m = (n+t)^2$ y obtenemos

$(25-4t)n = 2t^2+5$

asi que $1\leq t \leq 6$. De estas posibilidades solo $t=5,6$ dan valores enteros para $n$ y obtenemos

$(m,n)=(27,11)$ y $(192,77)$.

$k=2$ implica que $m=(5n-4)/4$ y al igual que arriba obtenemos la ecuacion

$(25-8t)n=4t^2+20$

asi que $1\leq t \leq 3$. De estas posibilidades solo $t=2,3$ dan valores enteros para $n$ y obtenemos

$(m,n)=(4,4)$ y $(69,56)$.
respondido por Carlos (17,280 puntos) Oct 21, 2013
seleccionada por José Hdz Oct 21, 2013
¿$(69,56)$ también?
Si: $69^2+5*56 = 5041 = 71^2$ y $56^2+5*69=3481=59^2$
En ese caso, haría falta un par... También habría que mencionar (al menos) la razón por la que se desecharon los pares $(27,11)$ y $(192,77)$. Como en términos generales el análisis es adecuado, damos por buena la respuesta. Congratulaciones.
No se desecharon. También son válidos. En total son 4 parejas.
Toda la razón, Carlos. (Sólo que en sí serían $7$ parejas, ¿qué no?)
No. A mi solo me salen cuatro parejas.
$(69,56)$, $(56,69)$, etc.
ah, las permutaciones...
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