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Un "quickie" sobre espacios de Hausdorff

+2 votos
Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico de Hausdorff. ¿Puede ser $\tau$ un subconjunto numerable del conjunto potencia de $X$?
preguntado por José Hdz (39,570 puntos) Sep 22, 2013 en Problemas

3 Respuestas

0 votos
Si. e.g. $X$ finito.

Si $X$ es infinito. Sea $A$ un subconjunto infinito y discreto. Por ejemplo, $A$ puede ser una sucesion sin puntos de acumulacion en $A$ o si eso no existe, entonces una sucesion convergente sin el punto limite. Estos son discretos porque $X$ es Hausdorff.

Para cada $x\in A$ existe un abierto $U_x\subset X$ tal que $A\cap U_x=\{x\}$. Para $C\subset \mathcal{P}(A)$ sea $U_C:=\bigcup_{x\in C} U_x$ abierto en $X$. Todos estos abiertos son distintos para subconjuntos distitnos de $A$, por lo tanto son una cantidad no numerable de abiertos.
respondido por Carlos (17,280 puntos) Sep 23, 2013
editado por Carlos Sep 23, 2013
... pero si $X$ es finito entonces no es numerable, sería en todo caso lo que se conoce como "a lo más numerable".
Ok. Para mi un conjunto finito es numerable.
+3 votos
Supongo que quieres un Hausdorff infinito $X$ y saber una cota inferior para la cardinalidad de la topología. Esa cota es $\mathfrak{c}$:

Si $X$ es discreto, ya está. Si $X$ no es discreto, entonces tiene un punto de acumulación, digamos $x$. Estudiemos el filtro de vecindades de $x$: sea $U$ una vecindad abierta de $x$, entonces $U$ tiene una infinidad de puntos de $X$, esto porque $U\backslash\{x\}\not=\emptyset$ y si $y\in U\backslash \{x\}$, entonces $U\backslash \{y\}$ sigue siendo vecindad de $x$. Ahora, tomamos dos puntos distintos de $U$, digamos $x_{00}$ y $x_{01}$; como $X$ es Hausdorff podemos encontrar dos abiertos ajenos $U_{00}$ y $U_{01}$ tales que $x_{ij}\in U_{ij}$ y $x$ pertenece a alguno de estos abiertos. Luego, se repite este proceso recursivamente.

Al final, podemos codificar la familia de abiertos que encontramos por sucesiones de ceros y unos. Esto es como un proceso de mitosis celular en los abiertos.
respondido por Enrique (9,150 puntos) Sep 23, 2013
Yo también pensé en algo parecido, pero me parece que no funciona del todo, al menos no sin algún elemento extra, por que de hecho la cantidad de abiertos que estás encontrando es numerable. Lo que es no numerable es la cantidad de sucesiones decrecientes de abiertos, pero éstas a su vez no te dan nuevos abiertos --por ejemplo, si te tomas la intersección, lo más probable es que obtengas un singulete, el cual en general no es abierto. En otras palabras, si bien hay una cantidad no numerable de sucesiones *infinitas* de ceros y unos, tan sólo hay una cantidad numerable de sucesiones finitas, y cada uno de tus abiertos viene codificado por una sucesión finita, no por una infinita. (por cierto, "+1" por lo de la mitosis celular).
@Quique: ¿Cómo garantizas que $x$ siempre queda en $U_{00}$ o $U_{01}$? Saludos.
Por ahí dije que uno de los abiertos nuevos debe contener a $x$, esto siempre se puede lograr.
Aún así me parece que $x$ en sí no es tan importante, pues no nadamás hay un punto de acumulación, sino un chingo de ellos...
+1 voto
Siento que esta respuesta es tan sólo la "compleción" (o "acompletación") de las de Enrique y Carlos. A cada una de ellas siento que les faltó "un cachito", aunque Enrique llegó más cerca. El punto principal es: tan pronto como logremos hallar una cantidad infinita numerable de abiertos disjuntos, $\{U_n\big|n\in\mathbb N\}$, entonces ya terminamos, pues para cada $A\subseteq\mathbb N$ construimos $V_A=\bigcup_{n\in A}U_n$. La disjuntez de los $U_n$ garantiza que $V_A\neq V_B$ para $A\neq B$, así que ahí tenemos tantos abiertos como subconjuntos de $\mathbb N$, es decir, $\mathfrak c$. Esto es una simple generalización del argumento de Carlos para el caso discreto.

Aquí es donde entra la respuesta de Enrique, pues la usaré para encontrar la cantidad infinita numerable de abiertos disjuntos. Nótese que si uno es cuidadoso al realizar su construcción, se puede hacer que los abiertos sean "decrecientes", es decir, que $U_{00},U_{01}\subseteq U_0$ (simplemente tomando intersecciones), y en general que $U_{\sigma\frown i}\subseteq U_\sigma$ para toda sucesión finita de ceros y unos $\sigma$, y para todo $i\in 2$ (aquí $\sigma\frown i$ denota la concatenación de $\sigma$ con el "bit" $i$). Esto tiene como consecuencia que, siempre que $\sigma$ y $\tau$ sean dos sucesiones finitas de $0$ y $1$ que difieren en al menos un dígito dentro de su dominio común (por ejemplo, $00$ y $0100110$ difieren en el segundo dígito), entonces $U_\sigma\cap U_\tau=\varnothing$. Por lo tanto, podemos hacer $U_n=U_\sigma$, donde $\sigma$ es la sucesión de longitud $n$ que comienza con $n-1$ ceros y termina con un $1$, y la familia $\{U_n\big|n\in\mathbb N\}$ será disjunta por pares.
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Sep 29, 2013
David: ¿Tus $U_{00}$ y $U_{01}$ son exactamente como los de Enrique? ¿Afirmas también que el punto de acumulación $x$ queda en exactamente uno de esos abiertos?
Mis $U_{00}$ y $U_{01}$ son casi exactamente como los de Enrique, lo único que yo hice es tener cuidado de que, además de disjuntos, estén ambos completamente contenidos en $U_0$. Lo del punto de acumulación, me imagino que te refieres al $x$ que se agarró Enrique, pero ese tan sólo lo agarramos para argumentar que $U_0$ es infinito. Al final, podría quedar o no en alguno de los abiertos (nótese que si queda en uno de ellos, entonces no puede quedar en el otro), pero no importa, porque no estamos tratando de encontrar una partición de $U_0$ (¿qué tal si $U_0$ es conexo?), sino solamente dos abiertos disjuntos dentro de él.
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