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Grupos divisibles y máximos.

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1.) Consideremos el grupo aditivo de un campo finito, entonces ¿tiene subgrupos máximos?

2.) Sea $G$ un grupo abeliano. Si $G$  no tiene subgrupos máximos entonces ¿$G$ es divisible?

3.) Bajo que hipótesis se puede asegurar la existencia de subgrupos máximos en un grupo abeliano.
preguntado por Izzyro (6,260 puntos) Sep 28, 2013 en Avanzadas
editado por Izzyro Sep 28, 2013

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta

1. De hecho, todo grupo finito $G$ con más de un elemento tiene al menos un subgrupo máximo. Para convencernos de esto consideramos el siguiente proceso. Fijamos un subgrupo propio $H_{1}$ de $G$. Si $H_{1}$ es subgrupo máximo de $G$ entonces terminamos; en caso contrario, consideramos un subgrupo propio $H_{2}$ de $G$ tal que $|H_{2}|>|H_{1}|.$ Si $H_{2}$ es subgrupo máximo de $G$ entonces terminamos; en caso contrario, consideramos un subgrupo propio $H_{3}$ de $G$ tal que $|H_{3}|>|H_{2}|$. Puesto que $G$ es un grupo de orden finito, el proceso anterior devuelve en algún momento un subgrupo máximo de $G$.

2. Sí. Demostración: Sea $G$ un grupo abeliano sin subgrupos máximos. Si suponemos que $G$ no es divisible entonces existe un número primo $p$ tal que $pG:=\{pg: g\in G\}$ es un subgrupo propio de $G$. Luego, como el orden de cada elemento del grupo $G/pG$ divide a $p$, $G/pG$ admite estructura de espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Si $\mathcal{B}$ es una base de dicho espacio vectorial y $\mathcal{B}^{\prime}$ se obtiene de $\mathcal{B}$ al remover un elemento, entonces $\mathrm{Span}(\mathcal{B}^{\prime})$ da lugar a un subgrupo máximo $S^{\ast}$ de $G/pG$. El teorema de la correspondencia (en grupos) implica en tal caso que $G$ tiene un subgrupo máximo $S$ (contradicción).

3.  Por lo que se mostró en el inciso 2, una condición necesaria es que el grupo abeliano $G$ no sea divisible. Se puede probar que esa condición también es suficiente.

respondido por José Hdz (39,570 puntos) Sep 28, 2013
seleccionada por Izzyro Oct 3, 2013
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