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Distancia entre conjuntos

+1 voto
Alguien me podría dar una idea para demostrar que la distancia entre A y B conjuntos, es igual a la distancia entre A cerradura y B cerradura
preguntado por Memo (260 puntos) Oct 3, 2013 en Topología
recategorizada por Rodrigo Pérez Oct 4, 2013
Deberias redactar mejor tu pregunta. Por ejemplo $A,B$ son subconjuntos de que espacio? como defines la distancia entre dos de estos subconjuntos? etc...

1 Respuesta

+3 votos
Para empezar, como hablas de distancia me hubicaré en un espacio métrico $(X,d)$. Ahora, supondre impunemente que los conjuntos $A$ y $B$ son subconjuntos de $X$. Lo que necesitas es mostrar que:

"Si $x\in\overline{A}$, entonces $d(x,A)=0$".

Con esto puedes ver lo que quieres. Espero te sirva la ayuda.

Saludos _\m/
respondido por Enrique (9,150 puntos) Oct 4, 2013
Cierto... entonces simplemente ya no recuerdo qué se hacía para obtener un espacio donde la métrica de Hausdorff sea de verdad una métrica...
No David. Lo que tu decias es cierto. Otro problema es que la distancia de Hausdorff puede ser infinita si alguno de los conjuntos no es acotado. A lo que me referia es que la distancia que usa Enrique tiene el mismo problema de solo ser una pseudometrica.
Si Carlos, ya te entendí. Ahora, necesitamos que Memo nos de claridad sobre en qué escenario debemos pensar y no divagar con otras opciones. Saludos a todos _\m/
Pero si divagar con otras opciones es lo divertido en las matemáticas :)
Para evitar que la distancia de Hausdorff sea infinita, se puede uno restringir a subconjuntos compactos, en lugar de cerrados. O bien se puede pedir que el espacio ambiente sea compacto (ya que, si es Hausdorff, entonces los subconjuntos cerrados son exactamente los compactos).
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