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¿Una función continua y biyectiva es abierta?

+2 votos
Muestre que una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que sea continua y biyectiva debe ser abierta.

De un ejemplo donde esto no ocurra.
preguntado por Enrique (9,150 puntos) Oct 11, 2013 en Básicas
editado por Enrique Oct 12, 2013

2 Respuestas

+3 votos
 
Mejor respuesta

Sean $X=\{a,b\}, \tau_{1}=\{\emptyset, X, \{a\},\{b\}\}$, $\tau_{2}=\{\emptyset, X,\{b\}\}$

y

$f:(X,\tau_{1})\to(X,\tau_{2})$

la función identidad sobre $X$ (i.e., $f(a)=a$ y $f(b)=b$).

La función $f$ es claramente biyectiva y continua pero no es abierta pues $f(\{a\}) \notin \tau_{2}.$

REVISIÓN (12/10/13). La primera parte del ejercicio puede establecerse como sigue. Si $\mathcal{B}:=\{(a,b): a, b\in \mathbb{Q}, a<b\} $ entonces puede mostrarse que $\mathcal{B}$ es una base numerable de $\mathbb{R}$. Luego, si $A$ es un conjunto abierto y no vacío de $\mathbb{R}$ entonces existe $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B}$ tal que

$\displaystyle A = \bigcup_{(a,b) \in \mathcal{C}} (a,b).$

De esta igualdad se sigue que

$\displaystyle f(A) = \bigcup_{(a,b) \in \mathcal{C}} f((a,b))$

y por lo tanto, todo se reduce a mostrar que cada $f((a,b))$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$. Fíjese $(a,b) \in \mathcal{C}$. Como $f$ es biyectiva entonces $f$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en $[a,b]$. En efecto, pues si por ejemplo $u,v,w \in [a,b]$ son tales que $u<v<w$ y $f(u)>f(v)$ y $f(v)<f(w)$ entonces aplicando el teorema del valor intermedio a algún $z \in (f(v),f(u)) \cap (f(v),f(w))$ tenemos que existen $c_{1} \in (u,v)$, $c_{2} \in (v,w)$ tales que $f(c_{1})=z=f(c_{2})$, lo cual es imposible en vista de la inyectividad de $f$.

 De todo lo anterior se concluye  $f((a,b)) = (f(a),f(b))$ o $f((a,b)) = (f(b),f(a))$ y la prueba termina.

respondido por José Hdz (39,570 puntos) Oct 11, 2013
editado por José Hdz Nov 3, 2013
Ya que leí tu respuesta, me puse a releer mi pregunta y me di cuenta de que no se entiende lo que quise preguntar. En realidad son dos preguntas y ya respondiste la segunda José.
OK... Creo que ahora sí. :)
Inche José, no dejas nada para los mortales. Pero esta bien.
+1 voto
Muestra que $f$ manda intervalos abiertos en intervalos abiertos. Es fácil si usas el Teorema del Valor Intermedio.
respondido por Tanius (210 puntos) Oct 12, 2013
Este no es un problema de una tarea que tenga. La idea de los problemas que pongo es que el que se quiera divertir de una respuesta completa, no que me diga a mí lo que tengo que hacer. Comúnmente, los problemas que he propuesto son problemas que ya he hecho alguna vez, excepto por dos sobre las $\sigma$-álgebras de los naturales. Saludos Tanius y gracias por tu aportación.
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