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Circunferencia tangente a una parábola y a su directriz..

+2 votos
En el plano $\mathbb{R}$², una circunferencia $\mathbf{C} $ es tangente a una parábola $\mathbf{P}$, en el punto T; en dicho punto (T), los vectores-curvatura de $\mathbf{C}$ y $\mathbf{P}$ tienen la misma magnitud. Se sabe también, que $\mathbf{C}$ es tangente a la recta directriz de $\mathbf{P}$.
 
Siendo 'p' el parámetro de $\mathbf{P}$, ¿qué valor tiene el radio de $\mathbf{C}$?
preguntado por Michel Anthony (21,320 puntos) Oct 12, 2013 en Torito
editado por Michel Anthony Oct 12, 2013
¿A qué se refiere con los vectores-curvatura y el parámetro de la parábola es la distancia del vértice al foco?
Claro, el parámetro es ese, precisamente.

El Vector "curvatura", para cualquier punto de una curva, es aquel que resulta de derivar (con respecto a la "longitud de arco") el Vector "Tangente unitario" a la curva.

1 Respuesta

+1 voto
 
Mejor respuesta
Supongamos que la parábola tiene vértice en el origen y una ecuación paramétrica para ella es \(\mathbf{r}_1(t)=\langle\frac{t^2}{4p},t\rangle\), la ecuación para la directriz es \(\mathbf{r}_2(t)=\langle-p,t\rangle\). En cada punto la magnitud del vector curvatura para la parábola se obtiene como sigue
\(\mathbf{r}_1'(t)=\langle\frac{t}{2p},1\rangle\)
El vector tangente unitario a la parábola viene dado por
\(\mathbf{T}(t)=\frac{2p}{\sqrt{t^2+4p^2}}\langle\frac{t}{2p},1 \rangle \Rightarrow \mathbf{T}'(t)=\frac{2p}{\left(t^2+4p^2\right)^{3/2}}\langle 2p, -t \rangle\)
Enseguida
\(\kappa = \frac{\left\|\mathbf{T}'(t)\right\|}{\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|}=\frac{\frac{2p}{t^2+4p^2}}{\frac{\sqrt{t^2+4p^2}}{2p}}=\frac{4p^2}{\left(t^2+4p^2\right)^{3/2}}\)

donde \(\kappa\) es la magnitud de la curvatura de la parábola, el vector normal unitario para la parábola también puede encontrarse de la misma forma
\(\mathbf{N}(t)=\frac{2p}{\sqrt{t^2+4p^2}}\langle 1,-\frac{t}{2p}\rangle\)
Si \(R\) es el radio de \(\mathbf{C}\), entonces una función vectorial que lo describe es
\(\mathbf{r}_3(u)=R\langle \cos u, \sin u \rangle+ \mathbf{r}_1(t)+R\mathbf{N}(t)\).

Tomaremos, por conveniencia, como parámetro \(u\) el ángulo que forma el radio de \(\mathbf{C}\) con el eje \(x\) positivo.
Siendo los vectores curvatura de \(\mathbf{C}\) y \(\mathbf{P}\) de igual magnitud se sigue que \(R=\frac{1}{\kappa}\):
\(R=\frac{1}{\kappa}=\frac{\left(t^2+4p^2\right)^{3/2}}{4p^2}\)

Para que \(\mathbf{C}\) sea tangente a la directriz de \(\mathbf{P}\) es preciso que la primer componente de \(\mathbf{r}_3(u)\) sea \(-p\), nótese que el punto de tangencia debe ser el que corresponde a \(\mathbf{r}_3(\pi)\). De donde \(\frac{3t^2+8p^2}{4p}-\frac{\left(t^2+4p^2\right)^{3/2}}{4p^2}=-p\).

Al resolver esta ecuación para \(t\) se obtiene \(t^2=5p^2\), de donde \(R=\frac{\left(5p^2+4p^2\right)^{3/2}}{4p^2}=\frac{27}{4}p\)
respondido por Angel Mario (1,010 puntos) Oct 13, 2013
seleccionada por Michel Anthony Oct 14, 2013
¡Muy bien, Ángel Mario! Buen análisis y cálculo..la respuesta es correcta.

Solo una observación: Ha tomado el caso de que la circunferencia $\textbf{C}$ se oriente hacia el "interior" de la parábola $\textbf{P}$; ¿qué hay de la posibilidad de que el centro de $\textbf{C}$ no coincida con el "centro de curvatura" instantáneo de $\textbf{P}$?
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