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Continuidad de la suma de los espacios propios con valor propio positivo

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Sea $A:U\subset \mathbb{R}^k\rightarrow Mat(n\times n, \mathbb{R})$ una funcion continua tal que $A(x)$ siempre es una matriz simetrica no degenerada y la signatura $(p,q)$ de estas matrices es constante en $U$.

Para $x\in U$ sea $E^+(x)=E_{\lambda_1(x)}\oplus \dots \oplus E_{\lambda_r(x)}\subset \mathbb{R}^k$ la suma de los espacios propios de $A(x)$ con valor propio positivo. Entonces como la signatura es constante, $\dim(E^+(x))\equiv q$.

Demostrar que el espacio $E^+(x)$ depende continuamente de $x$. (Analogamente se puede hacer la misma pregunta para $E^-(x)$.)

 

Motivacion: Sea $\pi:E\rightarrow M$ un haz vectorial sobre una variedad $M$. Supongamos que $E$ esta dotado con una metrica (de haz vectorial) de signatura $(p,q)$. Entonces probando el ejercicio de arriba se puede ver facilmente que $E$ se descompone como suma de dos haces de rango $p$ y $q$:

$E=E^+\oplus E^-$

Con esto podemos ver que aun cuando todo haz vectorial admite metricas Euclideanas, existen obstrucciones para la existencia de metricas indefinidas.

preguntado por Carlos (17,280 puntos) Oct 16, 2013 en Problemas
editado por Carlos Oct 17, 2013
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