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Un rapidín de grupos finitos

+3 votos
Sea $G$ un grupo de orden $2p$, en donde $p$ es un primo impar. Supóngase que $G$ tiene un subgrupo normal de orden $2$. Demuestre que $G$ debe de ser cíclico.
preguntado por David Fernández (15,540 puntos) Oct 23, 2013 en Básicas

2 Respuestas

+4 votos
 
Mejor respuesta
Por un lado $H\triangleleft G$ con $|H|=2$, y por otro existe $H'\triangleleft G$ con $|H'|=p$

Es claro que $H\cap H'=1$, y que $|HH'|=|G|$. (Corrección: $H'$ en lugar de $G$)

Por lo tanto $G=H\times H'$. $\square$
respondido por Juan (1,680 puntos) Oct 23, 2013
editado por Juan Oct 23, 2013
¡Guau!, eso sí que fue rápido... creo que hay un error de dedo cuando dices que $|HG|=|G|$, creo que quisiste decir $|HH'|=|G|$.
Tenía que hacerle honor al título.
+4 votos
Uno puede responder el problema de manera un poquito más general, ignorando la hipótesis del subgrupo normal de orden dos.

Si $G$ es un grupo de orden $2p$ entonces $G$ es cíclico o diédrico.

Tome $H$ subgrupo de orden $2$ y $K$ de orden $p$. $K \triangleleft G$ (pues es de índice $2$). $H \cap K = \{ 1 \}$ y $HK$  es subgrupo (pues $K$ es normal) y tiene el tamaño de $G$, de modo que $HK=G$ y por lo tanto $G=K \rtimes H$.

Si $H$ es normal, entonces tienes un cíclico (pues el producto es producto directo) si no, entonces tienes un diédrico.

¡Saludos!
respondido por Antonio Montero (2,010 puntos) Nov 4, 2013
editado por José Hdz Nov 5, 2013
Muy bonita generalización... de hecho yo encontré en un libro el problema con un grupo de orden 10 ($=2\cdot 5$), pero vi que el 5 en sí no era relevante, y quedó la versión que postée. Pero, como bien observas, incluso podemos mandar a volar la normalidad del subgrupo (aunque pagando un precio, pues a cambio abrimos la posibilidad de que el grupo no sea cíclico).
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