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Polinomio irreducible

+1 voto
Sea $p>0$ un número primo impar. Demuestre que el polinomio $q(x) = x^{p}+(p-1)!$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.
preguntado por José Hdz (39,490 puntos) Oct 23, 2013 en Problemas
reetiquetada por José Hdz May 22, 2014

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
Usaremos el criterio de Eisenstein (http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_Eisenstein ... no sé por qué ya no puedo encajar vínculos aquí). Dado que $p$ es un primo impar, en particular no es el primero, así que podemos agarrar al primo inmediato anterior, llamémoslo $q$. Afirmo que $q$ satisface las hipótesis del criterio de Eisenstein: ciertamente $q$ divide a todos los términos excepto el principal (pues éstos son o bien $0$ o bien $(p-1)!$, y $q\leq p-1$). Ahora sólo necesitamos argumentar que $q^2$ no divide a $(p-1)!$: si lo dividiera, significaría que alguno de los números $k$, con $q<k<p$, es un múltiplo de $q$ (esto es consecuencia del Teorema Fundamental de la Aritmética), de los cuales el primer candidato sería $2q$. Sin embargo, por el postulado de Bertrand, debe existir un número primo entre $q$ y $2q$, como sabemos que $p$ es el siguiente primo, la conclusión es que $p<2q$ y por lo tanto no pueden existir tales $k$.
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Oct 23, 2013
seleccionada por José Hdz Oct 23, 2013
Justo la respuesta esperada, David. Enhorabuena.
Confieso que hasta hace poco no tenía claro si el postulado de Bertrand estaba demostrado o era tan sólo una conjetura (el nombrecito "postulado" me sonaba bastante sospechoso), pero cuando vi que con eso salía este problema, finalmente me animé a buscar por la red. Ahora sé que existe una demostración, la cual espero leer pronto...
De hecho hay varias demostraciones de Bertrand, David. Por ejemplo, y para no ir más lejos, en el número de agosto-septiembre del "American Mathematical Monthly" apareció un artículo de Ram Murty & Jaban Meher en el cual presentaron una variante de la prueba de Ramanujan al postulado de Bertrand. Hay también una prueba "del libro" debida a Erdős que puedes consultar en una de las primeras secciones del Aigner & Ziegler. Y ya entrados en gastos, quizás quieras echarle un ojo a esto también: http://elr3to.blogspot.mx/2011/05/sobre-el-postulado-de-bertrand.html
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