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Demostraciones de espacios vectoriales

+1 voto
Pues ya me perdí en esto de los espacios vectoriales, ¿podrían decirme cómo demostrar si los siguientes conjuntos son o no son espacios vectoriales y enumerar los axiomas que no se cumplen?

1. El conjunto de los números naturales como vectores, el conjunto de los números naturales como escalares y la operación de multiplicación para números naturales. R: No, 4

2. El conjunto de números enteros como vectores, el conjunto de los números naturales como escalares, la operación de suma para números enteros y la multiplicación de números enteros para la operación de multiplicación de escalar y vector. R: Sí.

3. El conjunto de vectores los números racionales con la operación de suma, el conjunto de escalares
los números enteros y la operación de multiplicación de escalar y vector la multiplicación usual.
R: Sí.
preguntado por Arturo García Flores (130 puntos) Oct 25, 2013 en Álgebra lineal
Un espacio vectorial tiene como escalares a un campo. En ninguno de tus ejemplos forman los escalares un campo. Sabes lo que es un modulo sobre un anillo?

1 Respuesta

+2 votos

Te platico algunas definiciones que necesitas entender.

Un campo es un conjunto $C$ con dos operaciones binarias, esto es, funciones $S:C\times C\to C$ y $P:C\times C\to C$, que cumplen las siguientes condiciones, para $a,b,c\in C$:

  • asociativisad: $S(S(a,b),c)=S(a,S(b,c))$ que comúnmente te la encuentras $(a+b)+c=a+(b+c)$.
  • neutro aditivo: existe $z\in C$ tal que $S(z,a)=a$ para todo $a\in C$ que comúnmente te lo encuentras $0+a=a$.
  • inversos aditivos: para cada $a\in C$ existe $b_a\in C$ tal que $S(a,b_a)=z$ con $z$ el del punto anterior, que usualmente lo encuentras $a+(-a)=0$.
  • conmutatividad aditiva: $S(a,b)=S(b,a)$ que lo puedes encontrar también como $a+b=b+a$.
  • asociatividad del producto: lo mismo que la asociatividad de la suma pero con $P$ en vez de $S$.
  • neutro multiplicativo: existe $u\in C\backslash\{z\}$ con $P(u,a)=a$ para todo $a\in C$, o bien $1a=a$.
  • inversos multiplicativos de elementos no nulos: si $a\in C\backslash\{z\}$ entonces existe $b_a\in C$ con $P(a,b_a)=u$, el del punto anterior.
  • conmutatividad del producto: $P(a,b)=P(b,a)$.
  • Leyes distributivas: $P(a,S(b,c))=S(P(a,b),P(a,c))$ y $P(S(a,b),c)=S(P(a,c),P(b,c))$.

Insisto en usar una notación poco usual para enfatizar el hecho de que las operaciones son funciones de dos argumentos, es decir, transformaciones que "se comen" a dos engendros de $C$ y te "escupen" un nuevo engendro de $C$.

Estos son los axiomas de campo. Ejemplos, puedes encontrar muchos, como los campos numéricos $\mathbb{Q}$ de números racionales, $\mathbb{R}$ que es el conjunto de números reales o $\mathbb{C}$ el conjunto de números complejos. También, puedes encontrar campos finitos como $\mathbb{Z}_p$ que son los residuos de enteros módulo un primo $p$ donde la suma y producto se hacen como los enteros si el resultado es menor que $p$ y si es mayor o igual entonces el resultado es el residuo de la suma (o el producto, según sea el caso) dividido entre $p$. También estan los campos de funciones racionales $\mathbb{F}(x)$ que son cocientes de polinomios en la variable $x$ donde el denominador no es el polinomio cero, aquí $\mathbb{F}$ indica cualquier campo. También esta el campo de series de potencias formales $\mathbb{F}[[x]]$. En fin, hay muchos ejemplos.

Ahora, un espacio vectorial $V$ sobre un campo $C$ tiene más estructuras en juego, Primero, $V$ tiene una operación binaria, que denotaremos por $S$ y se escribe $S(u,v)=u+v$ (para ser más tradicionales) y que cumple los primeros cuatro puntos de los axiomas de campo. También, existe una función o acción de $C$ en $V$, es decir, $\alpha:C\times V\to V$ (si no quieres que la acción sea de un campo en $V$ lo puedes considerar de un anillo con división (como los números de Hamilton, por ejemplo) en $V$ y el término es espacio vectorial izquierdo, en este caso) que denotaremos por $(a,v)\mapsto a.v$ (una vez más, para seguir con la tradición) que cumple las siguientes condiciones (que se dicen de compatibilidad):

  1. $(a+b).v = a.v+b.v$ donde la operación de suma en el lado izquierdo es la suma en $C$ y la suma de la derecha es la suma en $V$.
  2. $(ab).v=a.(b.v)$ donde la operación en el lado izquierdo es el producto en $C$ y la otra es la acción consecutiva de elementos de $C$ en elementos de $V$.
  3. $1.v=v$.
  4. $a.(u+v)=a.u+a.v$.

Ya con esto, es cuestión que veas cuál falla en cada caso. Me parece importante que lo cheques personalmente, de una por una para que lo puedas entender.


"Oigo y olvido, leo y recuerdo, hago y comprendo" - Confusio.


Saludos Arturo García Flores _\m/

respondido por Enrique (9,150 puntos) Oct 25, 2013
editado por Enrique Oct 27, 2013
Disculpa, ¿no habría que pedir $1\neq{0}$?
Sí, tienes razón. Lo corrijo.
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