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¿Politoposes?

+1 voto
Mi intensión iniciar un diálogo sobre las diferentes definiciones que hay en Matemáticas sobre un concepto.

¿Cuál es la definición de politopo que conocen o usan?

Saludos compañeros y espero respuestas, una por cada definición diferente que conozcan.

La intensión no es debatir sobre cuál es la "definición buena", sino es para comparar las diferentes definiciones en las diferentes áreas. Es más cultural (para mí).
preguntado por Enrique (9,150 puntos) Oct 25, 2013 en Interés general
editado por Enrique Oct 26, 2013

4 Respuestas

+2 votos
Politopo es la envoltura convexa de un número finito de puntos de En; es decir la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a ese número finito de puntos. También es el conjunto de todas las combinaciones convexas de dichos puntos.
respondido por jogumo (310 puntos) Oct 28, 2013
Yo diría que esa es la definición de POLITOPO CONVEXO.

Muchos de los matemáticos que conozco están de acuerdo en que cosas que no cumplen la definición que das sí son politopos (en realidad me restrinjo a polígonos, que es algo que todo mundo entiende).

Por ejemplo, si consideramos los puntos $A=(0,0)$, $B=(3,0)$, $C=(1,1)$ y $D=(0,3)$ en $\mathbb{R}^2$ junto con las aristas $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, queda una región acotada del plano con forma de punta de flecha. Para mí, y para muchos más, ahí hay un polígono no convexo.

También me gustaría que los topólogos nos dieran su definición de politopo. Ésa tampoco incluye convexidad.

Honestamente no tengo idea cómo definir lo que yo entiendo como politopo geométrico, y agradecería que alguien me diera una definición que me guste.
+2 votos
Yo trabajo con estructuras combinatorias llamadas "politopos abstractos" o "politopos combinatorios". Buscan  representar la estructura de incidencia de los politopos clásicos.

Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado, entendiendo que los vértices, aristas, etc. son simples elementos de rangos 0, 1, etc. que con los siguientes axiomas:

1) El politopo tiene un único elemento máximo (asociado usualmente al total) y un único elemento mínimo (asociado usualmente a $\emptyset$).

2) Todos los conjuntos parcialmente ordenados máximos tienen el mismo número de elementos, y a ese número se le llama el rango del politopo. A los elementos de rango 0 les llamamos vértices, y a los de rango 1 les llamamos aristas.

3) Dados dos elementos incidentes de rangos $i+1$ e $i-1$ existen exactamente dos elementos del politopo de rango $i$ incidentes a ámbos. Ésta es la propiedad característica de los politopos que generaliza los hechos de que dos aristas contienen siempre exactamente dos vértices y que en un poliedro una arista siempre pertenece a exactamente dos caras. A esta propiedad se le llama la propiedad del diamante  y también la cumplen los politopos clásicos en dimensiones mayores.

4) Es fuertemente conexo, que significa lo siguiente. Para todo par de elementos incidentes $F \le G$, el conjunto de elementos $H$ tales que $F < H < G$ es conexo en el sentido de que si $H$ y $K$ están, en ese conjunto entonces existe una sucesión $H=H_1, H_2, \dots, H_s$ con $H_s=K$ en el mismo conjunto tales que $H_i$ y $H_j$ son incidentes. Esto hace que las caras de los politopos no se identifiquen de más, por ejemplo, que un cuadrado no tenga dos vértices opuestos identificados. Si bien la definición formal usa este tipo de conexidad, la definición que usaba Grünbaum para poliedros (experto en el área) era una versión más débil.
respondido por Daniel Pellicer (2,220 puntos) Oct 28, 2013
+1 voto
Yo he manejado una definicion de politopo para dimension topologica.

Politopo es la realizacion (?) geometrica de un complejo. Es decir, un n-politopo es un conjunto de puntos contenido en algun $\mathbb{R}^m$ tal que se puede descomponer como una coleccion finita y disjunta de $p$-cells (celdas? celulas?) con $0 \leq p \leq n$, con al menos una $n$-cell, donde toda cara de cada cell pertenece a la collecion.
respondido por UsuarioX (2,970 puntos) Oct 29, 2013
¿Con "$p$-cell" te refieres a $p$-simplejo? ¿O algo homeomorfo a una bola $p$-dimensional?
Por cierto, parece que la traducción de $p$-cells es $p$-celdas. Imagino que la colección de la que hablas al final es el complejo del que hablas al principio. También sería bueno que nos platicaras a qué te refieres con la cara de una celda (a menos que las celdas sean simplejos, donde sí debería ser claro).

En cualquier caso, gracias por la definición.
Con $p$-celda me refiero al interior del $p$-simplejo salvo por $0$-celda que es un punto. Si, la familia esa es el complejo del que el politopo es su realizacion geometrica. Gracias por la traduccion de cell.
+2 votos

Conozco y he usado las definiciones que comentan jogumo y Daniel. La definición de "politopo convexo" también se puede dar en términos de "hiperplanos de soporte". También he usado una definición menos general de la que comenta Daniel, usando el término "bandera" o "pétalo" como le llaman algunos que no es mas que una cadena con ciertas condiciones. Y si, también me gustaría saber si "el cubo de Hilbert" es un politopo para los topólogos.

 

En gráficas, cuando nos referimos a cierto politopo, mas bien quiere defir el esqueleto de un politopo. No recuerdo haber visto una definición formal de politopo en gráficas pero todo mundo sabe quién es el "cubo", por ejemplo... o mejor dicho, el hipercubo o los sólidos platónicos. De hecho, las gráficas completas son los esqueletos de los simplejos. Lo mismo se puede hacer con hipergráficas... un tetraedro, por ejemplo: tienes los vértices, las aristas y las caras (hiperaristas de 3 elementos cada una). Un complejo simplicial sería algo así como "la hipergráfica de clanes", bueno ya estoy debrayando así que mejor buscaré una fuente.

respondido por Chris Rubio (5,880 puntos) Nov 11, 2013
editado por Chris Rubio Nov 11, 2013
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