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Otra integral

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Calcule la integral $\int_{-a}^{a}\tfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{1+x^2}{\rm d}x$.
preguntado por Enrique (9,150 puntos) Oct 29, 2013 en Básicas
Con este tipo de integrales se pueden calcular las áreas de las bolas en el plano hiperbólico. Es por eso que propuse el problema.

1 Respuesta

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Mejor respuesta

En lo que sigue supondremos que $a$ es un número real mayor que cero.

Denotemos con $I_{a}$ a la integral dada. Considerando la sustitución $x=a\cos \theta$ llegamos a que

$\displaystyle I_{a}= \frac{a^{2}}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^{2} \theta}{1+a\cos^{2}\theta}\, d\theta.$

La determinación de esta integral puede hacerse mediante variable compleja. En efecto, puesto que

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^{2} \theta}{1+a\cos^{2}\theta}\, d\theta = \int_{\gamma} \frac{1}{iz} \cdot \frac{\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^{2}}{1+a^{2}\left(\frac{z+z^{-1}}{2}\right)^{2}}\, dz$

donde $\gamma$ es la circunferencia unitaria recorrida una vez en sentido positivo, se sigue que

$\displaystyle I_{a} = \frac{a^{2}i}{2} \int_{\gamma} \frac{(z^{2}-1)^{2}}{z[a^{2}z^{4}+(4+2a^{2})z^{2}+a^{2}]}\,dz$.

Al resolver la ecuación bicuadrática $a^{2}z^{4}+(4+2a^{2})z^{2}+a^{2}=0$, notamos que esta ecuación tiene dos raíces conjugadas de módulo mayor que $1$ y dos raíces conjugadas de módulo menor que $1.$ Denotando con $w_{1}$ y $w_{2}$ al primer par de raíces conjugadas y con $w_{3}$ y $w_{4}$ al segundo par de raíces conjugadas, se sigue que

$\displaystyle I_{a} = \frac{i}{2} \int_{\gamma} \frac{(z^{2}-1)^{2}}{z(z^{2}-w_{1}^{2})(z-w_{3})(z+w_{3})}\,dz$.

Luego, si con $f$ denotamos al integrando en la línea anterior, al aplicar el teorema de los residuos se obtiene que

$\begin{eqnarray*} I_{a} &=& \left(\frac{i}{2}\right)(2\pi i ) \left\{\mathrm{Res}(f,z=0)+\mathrm{Res}(f,z=w_{3})+\mathrm{Res}(f,z=-w_{3})\right\}\\ &=& \pi \frac{1+w_{1}^{2}w_{3}^{2}-2w_{1}^{2}}{w_{1}^{2}(w_{1}^{2}-w_{3}^{2})}. \end{eqnarray*}$

............ (*)

Así, al ser 

$w_{1}^{2} = \pm \frac{i\sqrt{2+a^{2}+2\sqrt{1+a^{2}}}}{a}$

y

$w_{3}^{2}= \pm \frac{i\sqrt{2+a^{2}-2\sqrt{1+a^{2}}}}{a}$,

al hacer las evaluaciones correspondientes se llega a que

$I_{a} = \pi (\sqrt{1+a^{2}}-1)$

y concluimos...

respondido por José Hdz (39,530 puntos) Nov 3, 2013
seleccionada por Enrique Nov 3, 2013
Te la sacaste José. (Y)
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