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Problemas con un difeomorfismo que no es de clase C^1

+2 votos
Hola, estoy estudiando el teorema de cambio de variables y me tope con este problemita:

Sea $f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ un difeomorfismo con $f(B[0,1])\subset B[0,1]$ y $| det f^{\prime}(x) |<1/2$ para todo $x\in B[0,1]$. Muestre que para toda función continua $h: B[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ se tiene $$\lim\limits_{n \to \infty } \int_{f^n(B[0,1])}h(x)dx =0$$

Tengo una duda respecto del problema en cuestión, si asumo que $f$ es difeomorfismo de clase $C^1$ entonces estoy en las condiciones del teorema de cambio de variables y llego a mostrar lo pedido. Pero con esa hipótesis sobre $f$ de solo ser difeomorfismo, no puedo asegurar que sea valido el teorema de cambio de varibles, quiza se puede encontrar algún contraejemplo?

Agradezco de ante mano cualquier sugerencia
preguntado por cervero (90 puntos) Nov 7, 2013 en Básicas
Que es $B[0,1]$?
$B[0,1]$ es la bola unitaria cerrada n-dimensional.
No sé la respuesta. Sin embargo, quizás te ayude "lo que yo haría" jeje. Leería la prueba de "cambios de variables" y me fijaría 'cómo se usa lo de "clase C^1"' y trataría de reproducir la prueba enfocada a este problema concreto utilizando la hipótesis que me dan. En el peor de los casos vas a reducir la pregunta a algo más concreto.

1 Respuesta

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Observa que en particular $f$ es un difeomorfismo de $[0,1]$ sobre su imagen. De hecho, la región sobre la que integras es en el paso $n=1$ es la imagen de dicho intervalo y por lo tanto, puedes usar el teorema de cambio de variables.
respondido por jdcastillo (90 puntos) Nov 23, 2013
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