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Área de un triángulo equilátero en particular

+1 voto

Tengo un problema con un ejercicio que no debería salir tan difícil...

Supongamos que l y m son rectas paralelas al eje x tal que l pasa por (0,a), donde a>0 y m está a una distancia b de l (Lo que significa que l pasa por (0,a+b)). Si se supone que l está entre m y el eje real, expresar el área del triángulo equilátero que tiene un vértice en cada una de estas rectas paralelas, en términos de a y b.
Una representación sería:

preguntado por LeviathanTheEsper (710 puntos) Nov 17, 2013 en Básicas
Me parece que el problema no está bien plateado. Se pueden trazar muchos triángulos equiláteros con un vértice sobre la recta l y uno sobre la recta m: en otras palabras, a y b no determinan por sí solas a un único triángulo equilátero en el plano cartesiano... Quizás hay un dato sobre el tercer vértice que olvidaste mencionar.
Un tercer vértice estaría en el eje x, olvidé mencionarlo.
Bueno..de algún modo, al decir que el "triángulo equilátero...tiene un vértice en cada una de estas rectas paralelas", además de la observación del gráfico propuesto, puede entenderse que se consideraba como '3ra recta' al eje x.

2 Respuestas

+1 voto
Podemos suponer que el vertice que esta sobre el eje x es el $(0,0)$. Entonces el vertice sobre $l$ es $(x_1,a)$ y el vertice sobre $m$ es $(x_2,a+b)$.

Sea $R$ la rotacion del plano con un angulo de $\pi/3$ en sentido contrario a las manecillas del reloj. Entonces $R(x_1,a)=(x_2,a+b)$. Si pensamos en numeros complejos, esto es lo mismo que:
 
\begin{equation}
x_2+i(a+b)=(\cos\pi/3 + i\sin\pi/3)(x_1+ia)=(1/2+i\sqrt{3}/2)(x_1+ia)\\=(x_1/2-a\sqrt{3}/2)+i(a/2+x_1\sqrt{3}/2).
\end{equation}

De donde concluimos que $a+b=a/2+x_1\sqrt{3}/2$ o equivalentemente $x_1=(a+2b)/\sqrt{3}$.

Ahora si $\ell$ es el lado del triangulo, entonces su area es $A=\sqrt{3}\ell^2/4$. Ademas sabemos que

$\ell^2=x_1^2+a^2 = 4(a^2+ab+b^2)/3$.

Entonces

$A= (a^2+ab+b^2)/\sqrt{3}$.
respondido por Carlos (17,280 puntos) Nov 18, 2013
editado por Carlos Nov 18, 2013
Ciertamente se facilitaba tomando al origen como vértice. Pues gracias.
Ojo: Si $\textbf{l}$ es el lado del triángulo, su área es: $\frac{\sqrt{3} l^2}4$
Cierto. Gracias, ya lo cambie.
0 votos

* Las medidas de los segmentos en el lado que aparece "más a la izquierda", son proporcionales a los valores $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$. Así, ayudándonos de una constante de proporcionalidad [sea $\textbf{k}$], se tiene lo siguiente:

** Sea $\textbf{x}$ el tamaño de la porción de la recta "$\textbf{l}$" contenida en el triángulo. Luego, aplicamos la "Ley de Cosenos" para el cálculo de $\textbf{x}$ (por ejemplo, con el triángulo pequeño "interior INFERIOR"):

$x^{2} = [(a+b)k]^2 + [ak]^2 - 2[(a+b)k][ak]\cos(\pi/3)$ $x=(\sqrt{a^2+ab+b^2})k$

*** Ahora, expresamos el área "$\textbf{V}$" del mismo triángulo ("interior inferior") de 2 maneras:

I.-  $\textbf{V}$ = $\frac{(x)(a)}{2}$ = $\frac{a\sqrt{a^2+ab+b^2}k}{2}$

II.- $\textbf{V}$ = $\frac{a}{a+b}.\frac{\sqrt{3}[(a+b)k]^2}{4}$ = $\frac{\sqrt{3}a(a+b)(k)^2}{4}$

**** Igualando las expresiones, obtenemos: 

$\textbf{k}$ = $\frac{2}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{a+b}$

_______________________________________________

Luego, el lado del triángulo equilátero es: (a+b)k = $\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2+ab+b^2}$

 Área del triángulo equilátero$\textbf{A}$ = $\frac{\sqrt{3}[(a+b)k]^2}{4}$

$\textbf{A}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{a^2+ab+b^2}$

respondido por Michel Anthony (21,320 puntos) Nov 18, 2013
editado por Michel Anthony Nov 19, 2013
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