• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Demostrar que f(x)=0 x en [0,1]

+1 voto

Si f es continua en [0,1] y si


\[
\int_{0}^{1}  \! f(x)*x^{n} \, dx = 0
\]
para n = 0,1,2,3,...

entonces, f(x)=0 en [0,1]

preguntado por Math92 (210 puntos) Nov 18, 2013 en Básicas
integral definida de 0 a 1 de f(x)(x^n) es igual a 0 para toda n=0,1,2,3,...

1 Respuesta

+1 voto
Por el teorema de aproximación de Weierstraß existe una sucesión $\{P_{n}(x)\}_{n\in \mathbb{N}}$, con $P_{n}(x) \in \mathbb{R}[x]$ para cada $n \in \mathbb{N}$, tales que $P_{n}(x) \to f(x)$ uniformemente sobre $[0,1]$. Así

$\displaystyle \begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} f^{2}(x)\, dx &=& \int_{0}^{1} f(x) \lim_{n\to \infty} P_{n}(x)\, dx\\

&=& \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) P_{n}(x)\, dx.\\

\end{eqnarray*}$

Ahora bien, la hipótesis de que $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) x^{k}\, dx = 0$ para cada $k \in \mathbb{Z}^{+}$ implica que para cada $n \in \mathbb{N}$,

$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) P_{n}(x)\, dx  = 0.$

Por consiguiente

$\displaystyle \int_{0}^{1} f^{2}(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) P_{n}(x)\, dx = 0$.

Como $f^{2}$ es continua y no negativa, del hecho que su integral sobre $[0,1]$ sea cero se desprende inmediatamente que $f^{2}(x)= 0$ para cada $x \in [0,1]$ y la prueba termina.
respondido por José Hdz (39,570 puntos) Nov 18, 2013
editado por José Hdz Nov 18, 2013
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...