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Para cierto valor de c, la siguiente integral converge. Hallar c. [cerrada]

+2 votos

Tenía una duda, acerca del método que podría usar, para hallar el valor de c para el que la siguiente integral impropia converge.

Y bueno, no tengo problemas para hallar esa integral (De hecho a diferencia de otras esa parte no da problemas, es hallable la antiderivada). El problema está en hallar un valor de c para el que el siguiente límite exista.

Y claro, preferiría que no fuera necesario usar definición de límite.

¿Alguna idea?

cerrada con la nota: Problema resuelto, de sobra.
preguntado por LeviathanTheEsper (710 puntos) Nov 27, 2013 en Básicas
cerrada por LeviathanTheEsper Nov 27, 2013

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta

Como el intervalo de integración es $(2,\infty)$, puedes eliminar las barras de valor absoluto. Luego, el problema se reduce a determinar una $c$ tal que

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \ln \frac{(t^{2}+1)^{\frac{c}{2}}}{(2t+1)^{\frac{1}{2}}}$

exista. La opción natural sería un $c$ tal que $(t^{2}+1)^{\frac{c}{2}}$ y $(2t+1)^{\frac{1}{2}}$ tengan el mismo orden de magnitud. La opción $c=\frac{1}{2}$ se sugiere así misma a partir de este punto, ¿qué no? Piensa por ejemplo que cuando $t$ es muy grande, $(t^{2}+1)^{\frac{c}{2}}$ es básicamente $t^{c}$ y $(2t+1)^{\frac{1}{2}}$ es básicamente $\sqrt{2}t^{\frac{1}{2}}.$

respondido por José Hdz (39,550 puntos) Nov 27, 2013
seleccionada por Chris Rubio Dic 2, 2013
Sí, así sale. Sí miré tanto lo del cociente por homomorfismo, como lo del valor absoluto, pero no llegaba. Gracias.
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