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operadores compactos

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Sean X e Y espacos de Banach y  T  um operador compacto de X en Y. Provar que la imagem de T no 
contiene ningun subespacio  vetorial cerrado de dimension infinita.
preguntado por Raul Tintaya (1,240 puntos) Nov 28, 2013 en Avanzadas

1 Respuesta

+1 voto
Sea $F\subseteq Im(T)$ cerrado en $Y$. Sea $E = T^{-1}(F)$ que es cerrado en $X$ por ser la preimagen de un cerrado por una función continua. Entonces

$$T: E\rightarrow F$$

es un operador compacto y sobreyectivo. Como $E$ y $F$ son espacios de Banach (por ser subespacios cerrados de espacios de Banach) el teorema de la aplicación abierta implica que $T$ es abierta. Por lo tanto $\overline{T(B_E)}$ es un compacto de interior no vacio en $F$. Por el teorema de Riesz, $F$ debe ser de dimensión finita.
respondido por Nicolás (590 puntos) Nov 30, 2013
Necesitas verificar que ese compacto es no vacio?
tiene interior no vacío.....
Error mio, quize decir si realmente es necesario mostrar que el interior es no vacio?
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