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Dos discos disjuntos en un pentágono convexo

+8 votos
Dado un pentágono convexo, se consideran los cinco discos que circunscriben los cinco lados del pentágono (es decir, para A y B dos vértices consecutivos del pentágono, el centro del disco es  (A+B)/2  y su diámetro es la distancia entre A y B).

Conjetura: Hay dos de los cinco discos que son disjuntos.
preguntado por Clemens Huemer (180 puntos) Dic 2, 2013 en Preguntas

1 Respuesta

+4 votos
 
Mejor respuesta

Hola, 

Ya tenemos solución para este problema. Los detalles los pueden encontrar aquí, y la idea de la demostración es la siguiente:
 
Sean A, B, C, D y E los vértices del pentágono (en orden contrario a las manecillas del reloj).
 
Usando las propiedades del medial axis de un polígono convexo, existe un círculo C_1 contenido en el pentágono y tangente a tres lados consecutivos, digamos los lados EA, AB y BC, tales que: las rectas EA y BC se cortan en un punto denotado por P y además el punto P y el círculo C_1 se encuentran en semiplanos diferentes definidos por la recta AB. Denotemos por O el centro de C_1, y asumamos sin pérdida de generalidad que la recta PO es horizontal y que P está a la izquierda de O.
 
Sea C_2 el círculo con centro en P y radio igual a la longitud de los segmentos que conectan al punto P con los puntos de tangencia entre el círculo C_1 y los lados EA y BC.
 
Se cumple entonces lo siguiente:
 
(1) El círculo circunscrito al lado AB está completamente contenido en el círculo C_2.
(2) Si el vértice D está en, o por encima de, la recta PO, entonces el círculo circunscrito al lado DE es ajeno al círculo C_2.
(3) Si el vértice D está por debajo de la recta PO, entonces el círculo circunscrito al lado CD es ajeno al círculo C_2.
 
Con (1), (2) y (3) se obtiene que el círculo circunscrito al lado AB y al menos uno entre los círculos circunscritos a los lados CD y DE, son ajenos. QED.
 
Saludos!
 
 
respondido por Pablo Pérez-Lantero (860 puntos) Oct 16, 2014
seleccionada por José Hdz Oct 16, 2014
¡Excelente! Como me sorprendió un poco la cantidad de geometría involucrada en su solución, hice esta otra pregunta: http://irracional.org/index.php/3603/de-discos-en-plano-hay-con-puntos-comun-tiene-que-haber-ajenos
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