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El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Uno interesante de moderna

+1 voto
Sean $G$ un grupo y $m$ y $n$ dos números enteros coprimos. Supóngase que en $G$ todas las potencias $m$-ésimas conmutan entre sí y también que todas las potencias $n$-ésimas conmutan entre sí. Demuestre que $G$ es un grupo abeliano.
preguntado por José Hdz (39,570 puntos) Ago 8, 2013 en Problemas
reetiquetada por José Hdz Ago 15, 2013
Suena muy Herstein
Así es y por ello gusta tanto (aunque es preciso mencionar que no viene en el "Topics...".)
¡Está bonito! Y se me hizo dificilón.

1 Respuesta

+3 votos
 
Mejor respuesta
Para cualquier entero $k$ sea $H_k$ el subgrupo de $G$ generado por las $k$-ésimas potencias. Nótese que $H_k$ es normal, ya que un conjugado $g H_k g^{-1}$ está generado por los elementos de la forma $g x^k g^{-1} = (gxg^{-1})^k$ que pertencen a $H_k$.

Como $m$ y $n$ son primos relativos, existen enteros $a$ y $b$ tales que $am+bn=1$ y por lo tanto, para cualquier $x \in G$ tenemos que $x = (x^a)^m (x^b)^n \in H_m H_n$, de modo que $H_m H_n = G$. Como las $m$-ésimas potencias conmutan entre sí, $H_m$ es abeliano pues es generado por elementos que conmutan entre sí. Análogamente $H_n$ es abeliano. Para probar que $G$ es abeliano, basta probar que cualquier elemento de $H_m$ conmuta con cualquiera de $H_n$.

Notemos primero que $H_m \cap H_n$ está contenido en el centro de $G$: en efecto, un elemento de $H_m \cap H_n$ conmuta (1) con todo elemento de $H_m$ pues $H_m$ es abeliano, (2) con todo elemento de $H_n$ pues $H_n$ es abeliano, y por lo tanto, (3) con todo elemento de $G$ pues $G = H_m H_n$. Ahora sean $x \in H_m$, $y \in H_n$ y sea $z := [x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$. Como $z = (xyx^{-1})y^{-1}$ y $H_n$ es normal, tenemos que $z \in H_n$. Análogamente, de $z = x(yx^{-1}y^{-1})$ vemos que $z \in H_m$. Por lo tanto, $z \in H_m \cap H_n$ y por ende en el centro de $G$. Ahora, $xyx^{-1} = zy$ y por lo tanto, $xy^mx^{-1} = (zy)^m = z^m y^m$ (lo último porque $z$ está en el centro). Pero $y^m \in H_m$, así que conmuta con $x$ y obtenemos $xy^mx^{-1} = y^m x x^{-1} = y^m$. Por otra parte, ya sabíamos que $xy^mx^{-1} = z^m y^m$, así que tenemos que $y^m = z^m y^m$, de donde $z^m=1$. Análogamente $z^n=1$ y entonces $z = (z^m)^a (z^n)^b = 1$. Esto prueba que $x$ y $y$ conmutan, como queríamos probar.
respondido por Omar Antolín (33,060 puntos) Ago 8, 2013
editado por Omar Antolín Ago 13, 2013
Muy bien, Omar.  No obstante, me parece que en el lado derecho de la igualdad que aparece en la antepenúltima línea de tu "post" hace falta un $z^{m}$...
¿Dónde falta un $z^m$? (Eso de "antepenúltima línea" depende del tamaño de la letra, el ancho de la ventana, etc.)
Creo que ya adiviné donde sientes que falta un $z^m$, a ver si me quedó más clara la redacción de la prueba ahora.
Todo perfecto ahora, Omar... Efectivamente, en la versión previa de tu "post" daba la impresión que estabas escribiendo dos veces lo mismo por ahí.
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