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K-Means para el problema de Thomson

+1 voto

Hola. Soy nuevo aquí. Bueno: al grano.

He estado graficando cosas en 3D usando una técnica llamada ray-tracing (aquí mi repositorio de github: http://github.com/vomv1988/rt). Y bueno: quiero graficar poliedros regulares. Quiero darle a mi programa un valor numérico N entero positivo de entrada que represente las aristas del poliedro, y que después se generen los puntos en forma de vectores, para conectarlos con líneas en el espacio tridimensional.

El caso es que, se me ocurrió que para lograr eso, podría obtener los N puntos equidistantes sobre la superficie de una esfera. Y pensé que habría algún método fácil para hacerlo, pero resulta que es un problema famoso llamado "problema de Thomson". Bien: he leído algunas soluciones analíticas, pero me pregunto si también podría solucionarse con una aproximación sucesiva llamada "algoritmo K-Means".

Si uno proyecta una gran cantidad de vectores aleatorios desde el centro de una esfera, y obtiene los puntos sobre la superficie de la esfera en los que dichos vectores intersectan a esa superficie, y después, obtiene N centroides con K-Means, creo que quizás esos centroides serían equidistantes sobre la superficie de la esfera.

En realidad no estoy trabajando en nada serio, solamente quisiera saber si eso podría servir de algo, porque he leído que el problema de Thomson tiene aplicaciones ingenieriles e industriales. No sé si quizás la complejidad en el tiempo de este método sea mucho mayor a los métodos analíticos exactos que ví http://pubmedcentralcanada.ca/pmcc/articles/PMC3079956/

En fin: en concreto, ¿Creen que sirva aplicarle el K-Means al problema de Thomson?

Gracias por leer.

- V. Mier

preguntado por vomv1988 (90 puntos) Ene 4, 2014 en Computación

1 Respuesta

+3 votos

Tu idea de equidistribuir puntos en la esfera es interesante, pero debes definir bien qué es eso de equidistribuir, y te metes en muchos lios. Si solo quieres poliedros regulares, es mucho mejor la siguiente técnica:

  • Las coordenadas de un cubo son triviales.
  • Los vértices de un tetraedro salen cuando tomas cuatro vértices del cubo que estén separados por la diagonal de una cara.
  • los vértices del octaedro son los centros de las caras del cubo.
  • Para hacer un icosaedro toma tres rectangulos mutuamente ortogonales y que estén en la proporción áurea como en el dibujo de abajo.
  • Los vértices del dodecaedro son los centros de las caras del icosaedro.

 

 

respondido por Rodrigo Pérez (10,010 puntos) Ene 5, 2014
Gracias por la respuesta, Rodrigo.

En realidad no me había dado cuenta de que no todos los poliedros con aristas equidistantes eran regulares.

Voy a estar algo ocupado estos meses, pero aquí te dejo algunas ideas sobre lo que tenía en mente: http://www.tamps.cinvestav.mx/~vmier/notes/spherical_kmeans.pdf

- V. Mier.
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