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El irracional tiene una página en FB. El Irracional






¿es esta función diferenciable?

+2 votos
Sea f(x,y,z)=(xyz)^1/3. Es diferenciable en (0,0,0)??
preguntado por Joseline Yreta (100 puntos) Ene 13, 2014 en Preguntas
¡Bienvenida al irracional! (aunque en realidad tu pregunta ya es algo vieja). Un consejo: para escribir expresiones matemáticas, enciérralas entre símbolos de pesos. Y para que el exponente ^ abarque todo lo que debe de abarcar, enciérralo entre llaves. Es decir, que escribiendo (xyz)^{1/3} entre símbolos de pesos producirá el elegante $(xyz)^{1/3}$.

2 Respuestas

0 votos
Si lo fuera, tendría derivadas parciales continuas en (0,0,0) y la derivada parcial respecto a x, por ejemplo, es

 

$\frac{yz}{3(xyz)^2/3} $
respondido por Memo Olicón (90 puntos) Ene 21, 2014
Eso no es cierto. Una funcion diferenciable puede tener derivadas parciales discontinuas.
+1 voto
Calculemos las derivadas parciales de $f$ en $(0,0,0)$. Tenemos que

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f(t,0,0)-f(0,0,0)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{(t\cdot0\cdot0)^{1/3}-0^{1/3}}{t}=\lim_{t\to0}\frac{0-0}{t}=0$.

Similarmente, $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0,0)=0$ y $\frac{\partial f}{\partial z}(0,0,0)=0$. Por lo tanto, si existiera la diferencial de $f$ en $(0,0,0)$, ésta vendría dada por la transformación lineal $T:\mathbb R^3\longrightarrow\mathbb R$ dada por la matriz $[0,0,0]$, que no es sino la función constantemente $0$. En otras palabras, si $f$ fuera diferenciable en $(0,0,0)$, entonces

\begin{eqnarray*}

0 & = & \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{\|f(x,y,z)-f(0,0,0)-T(x,y,z)\|}{\|(x,y,z)\|} \\

& = & \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{\|(xyz)^{1/3}-0^{1/3}-0\|}{\|(x,y,z)\|} \\

 & = & \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{|(xyz)^{1/3}|}{\|(x,y,z)\|}.

\end{eqnarray*}

En particular, dicho límite debería ser $0$ sin importar la trayectoria mediante la cual se aproxime uno al punto $(0,0,0)$. Sin embargo, nótese que si $(x,y,z)$ se aproxima a $(0,0,0)$ sobre la línea recta $x=y=z$, entonces

$\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{|(xyz)^{1/3}|}{\|(x,y,z)\|}=\lim_{t\to0^+}\frac{|(ttt)^{1/3}|}{\|(t,t,t)\|}=\lim_{t\to0}\frac{t}{\sqrt{3t^2}}=\lim_{t\to0^+}\frac{t}{t\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\neq0,$

por lo tanto $f$ no es diferenciable en $(0,0,0)$.
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Feb 17, 2014
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