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Proceso de ortonormalizacion de Gram Shmidt, elección de segundo vector?

+1 voto

Hola, me podrían ayudar con el proceso de ortonormalizacion de gram schmidt? 
No entiendo bien esta parte que dice (sacado del libro Algebra lineal 6° edicion Grossman):
Sea u1 = v1/lv1l un vector unitario, (lu1l=1)
Y conociendo que w = u - ((u . v)/ lvl ^2) v es ortogonal a v, que viene siento u - proyección de u sobre v, entonces
(v . u / lu1l ) u1 = (v . u1) u1 para cualquier vector V.
Mi duda es lo ultimo, si lu1l=1 entonces lo anterior queda como
(v . u) u1 = (v . u1) u1
Y esto implicaría que u = u1, o al menos, v.u=v.u1, pero nunca específica de donde viene u, ni la relación entre u y u1. Esto tiene menos sentido, si v.u= 0 (ortogonales)
¿Que me perdí? o_o

 Creo que el problema es con (v . u / lu1l ) u1 = (v . u1) u1 ; Si cambio u por u1, entonces la ecuación tiene sentido, ya que me tendría la proyección de v sobre u1 del lado derecho, ya que lu1l=1, tendría los mismo en el lado derecho también.
Es así o estoy equivocado en algo?

preguntado por Miox (80 puntos) Ene 21, 2014 en Básicas
Miox, no entiendo la parte de tu duda:
"entonces
(v . u / lu1l ) u1 = (v . u1) u1 para cualquier vector V."

1 Respuesta

+1 voto

Te puedo dar el proceso de ortogonalización de manera más formal de la que escribiste y tal vez eso te ayude a entenderlo.

Sea $\beta=\{u_1,u_2,\dots,u_n\}$ una base ordenada para un espacio con producto interior $V$. Tomando en cuenta que queremos una base para $V$ que también sea un conjunto ortogonal (cualesquiera dos vectores de ésta son ortogonales) construiremos una nueva base $\gamma$. El proceso lo enlistaré a continuación:

  1. Tomamos $v_1=u_1$.
  2. Si $u_2$ es ortogonal a $v_1$, no hay nada que modificar y hacemos $v_2=u_2$. De lo contrario, usamos Gram-Schmidt para definir $v_2=v_1-\tfrac{\left<v_1,u_2\right>}{\|u_2\|^{2}}u_2$. Luego, obligamos a tener $\{v_1,v_2\}\subseteq\gamma$.
  3. Repetir el paso anterior cambiando el subíndice 1 por 2 y 2 por 3.
  4. Recursión hasta que termines.

Este es el proceso para obtener una base ortogonal. Una vez que la tengas, solo haces unitario a cada vector en la base para obtener la que deseas.

respondido por Enrique (9,150 puntos) Feb 12, 2014
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