• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Una diofántica con el número del año (pasado)

+4 votos

Determine el número de soluciones en números enteros de la ecuación siguiente:

$\begin{eqnarray}\mathbf{x}_{1}^{2013}+\mathbf{x}_{2}^{2013}+ \ldots + \mathbf{x}_{1006}^{2013} = \mathbf{y}_{1}^{2013}+\mathbf{y}_{2}^{2013}+\ldots + \mathbf{y}_{1006}^{2013}+2013.\end{eqnarray}$

¡Todos a por él!

preguntado por José Hdz (39,490 puntos) Feb 6, 2014 en Problemas
reetiquetada por José Hdz May 22, 2014

1 Respuesta

+2 votos

Hay que "revivir" el problema, está padre. Solución completamente análoga (i.e. lo mismo) a una de mathlinks (para futuras referencias):

Como $4027$ es primo, entonces para cada $i\in\{1,2,3,\ldots\},$ $\mathbf{x}_i^{4026}\equiv 0\hspace{3pt}\text{ó}\hspace{3pt}1\pmod{4027},$ por lo que $\mathbf{x}_i^{2013}\equiv-1,0\hspace{3pt}\text{ó}\hspace{3pt}1\pmod{4027},$ que implica que $$\tag{1}\mathbf{x}_1^{2013}+\cdots+\mathbf{x}_{1006}^{2013}-\mathbf{y}_1^{2013}-\cdots-\mathbf{y}_{1006}^{2013}-2013\equiv j\pmod{4027},$$ donde $j\in\{2,3,4,\ldots,4026\}$ y como $j\not\equiv0\pmod{4027}$ para todo $j,$ entonces el lado izquierdo de la congruencia $(1)$ no puede ser cero y por lo tanto el número de soluciones (enteras) de la expresión original es $0.$

 

A ver si mañana puedo con el otro de teoría de números (pero sin trampa como éste).

respondido por Carlos Jalpa (11,200 puntos) Ago 27, 2015
+1... El otro es una bonita variante de un problema que es más fácil hallar en la literatura. Cuando se lo mandé a la gente de Mathematical Reflections, lo publicaron pero por alguna razón optaron por reemplazar el 999998997996…010009008007006005004003002001000 por un número un tanto más decente. Saludos.
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...