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El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Toda función continua en un compacto de Hausdorff admite un conjunto compacto no vacío invariante. [cerrada]

+4 votos
Sean $X$ un espacio topológico compacto y Hausdorff y $f:X \to X$ continua. ¿Siempre existe $A \subset X$ tal que $A$ no es vacío, $A$ es compacto y $f(A) = A$?
cerrada con la nota: Ya fue respondida.
preguntado por Guillermo Martinez (2,240 puntos) Abr 3, 2014 en Avanzadas
cerrada por Guillermo Martinez Abr 6, 2014
AH! Se ve muy bonito este problema, es una generalización de un Teorema de punto fijo (Y)

2 Respuestas

+3 votos
 
Mejor respuesta
Como $X$ es Hausdorff, los subespacios compactos son cerrados.

Sea $K_0:=X$ y $K_n:=f(K_{n-1})$. Entonces $K_n$ es compacto y por lo tanto cerrado. Ademas $K_n\subset K_{n-1}$. Como $X$ es compacto entonces la interseccion de cerrados no vacios anidados es no vacia, por lo tanto, $K:=\bigcap_{n=0}^\infty K_n \neq \emptyset$ es un compacto no vacio. Y por construccion es claro que $f(K)=K$.
respondido por Carlos (17,280 puntos) Abr 4, 2014
editado por Carlos Abr 7, 2014
¡Genial! Son "posts" como éste los que nos hacen seguir al pendientes del Irracional.
0 votos

Quería encontrar una propia solución al ejercicio.

 

Sea $x_0 \in X$ cualquiera. Considera $\mathcal{O}_f(x_0)$ la órbita de $x_0$ por $f$ y sea $A$ el conjunto de puntos de acumulación de dicha órbita. Se satisface que $A$ es cerrado, por lo que es compacto al ser $X$ compacto. También se cumple que $A$ no es vacío por la definición de compacto ($X$ es compacto si y solo si todo filtro tiene un punto de acumulación). Solo restaría probar que $f(A) = A.$ El caso $f(A) \subset A$ es sencillo; en efecto, si $x \in A$ entonces existe una subsucesión $(y_{n_k})$ de la sucesión $(y_n = f^n(x_0))$ tal que $y_{n_k} \to x,$ por continuidad $f(y_{n_k}) \to f(x)$ y la sucesión $(f(y_{n_k}))$ está en $\mathcal{O}_f(x_0).$ Recíprocamente, si $x \in A$ entonces existe otra subsucesión $(y_{m_k})$ de $(y_n)$ tal que $y_{m_k}$ converge a $x.$ Considera la subsucesión $(y_{m_k - 1})$ de la sucesión $(y_n);$ por ser $X$ compacto, esta subsucesión posee un punto límite $y$ y una subsucesión de misma que converge a $y.$ Sea $(y_{m_k'})$ la subsucesión de $(y_{m_k - 1})$ que converge a $y.$ Se cumple que $(f(y_{m_k'}))$ es subsucesión de $(y_{m_k})$ que converge a $f(y)$ (otra vez la continuidad de $f$). Como $(y_{m_k})$ converge a $x,$ al ser el espacio $T_2,$ los límites son únicos, de este modo, $x = f(y)$ y $A \subset f(A).$

respondido por Guillermo Martinez (2,240 puntos) Abr 6, 2014
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