• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Problema de una tarea de antaño

+1 voto
Demuestre que el hecho de que todo intervalo en $\mathbb{R}$ es conexo implica que $\mathbb{R}$ satisface la propiedad de la mínima cota superior (t.c.c. axioma del supremo).

¡Hasta la vista!
preguntado por José Hdz (39,570 puntos) Abr 6, 2014 en Problemas

1 Respuesta

+3 votos
 
Mejor respuesta
Sea $A$ un conjunto no vacío acotado superiormente, digamos que $a_0 \in A$ y que $b$ es mayor que todos los elementos de $A$. Debemos probar que $A$ tiene una mínima cota superior. Sea $a$ cualquier número menor que $a_0$. Definimos $X = \{ t \in [a,b] : \exists c \in A, c>t \}$ y $Y = \{ t \in [a,b] : \forall c \in A, t\ge c \}$. Claramente $X$ y $Y$ son ajenos, no vacíos ($a \in X$, $b \in Y$) y su unión es $[a,b]$. Tenemos que $X$ es abierto en $[a,b]$ pues $X = \bigcup_{c \in A} [a,c)$. Si $Y$ no tuviera elemento mínimo también sería abierto en $[a,b]$, pues dado $y \in Y$, como $y$ no sería mínimo, habría un $z<y$, $z\in Y$ y tendríamos que $y \in (z,b] \subset [a,b]$. Por lo tanto, $Y$ debe tener un elemento mínimo, pues de lo contrario $X$ y $Y$ formarían una disconexión de $[a,b]$.
respondido por Omar Antolín (33,080 puntos) Abr 7, 2014
seleccionada por José Hdz Abr 8, 2014
¡Omar está de vuelta! (Y)
No sentí que me hubiera ido, pero supongo que si llevo bastante tiempo sin hacer más que leer las preguntas...
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...