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Span{A} es separable

+1 voto
Sea X espacio vectorial normado y A subconjunto de X. Pruebe que si A es enumarable entonces adh(Span{A}) es separable.

adh=adherencia.
preguntado por Palito Velandia (470 puntos) Abr 20, 2014 en Avanzadas

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta

Tu pregunta es esencialmente la misma que la de la Base de Schauder, que ya respondí hace algún tiempo. Rápidamente bosquejaré las ideas principales.

Primero notemos que, sin pérdida de generalidad, todo elemento de $A$ tiene norma $1$ (simplemente reemplácese cada $x\in A$ por $\frac{x}{\|x\|}$ y el "nuevo" $A$ sigue teniendo el mismo "span"). Ahora tomemos $E$ un denso numerable en el campo de escalares (si los escalares son reales, entonces $E=\mathbb Q$, y si son complejos entonces $E=\{r+is\big|r,s\in\mathbb Q\}$ que también es numerable). Entonces afirmamos que el conjunto $D$ de combinaciones lineales de elementos en $A$ con escalares en $E$ (es decir, $D=\bigcup_{n\in\mathbb N}\{\sum_{k\leq n}q_kx_k\big|(\forall k\leq n)(q_k\in E)\}$, si suponemos que ya enumeramos $A=\{x_n\big|n\in\mathbb N\}$), es denso en $\mathrm{Adh}(\mathrm{Span}(A))$. En efecto, si $x\in\mathrm{Adh}(\mathrm{Span}(A))$ y $\varepsilon>0$, entonces agárrese un elemento $y\in\mathrm{Span}(A)$ tal que $|x-y|<\frac{\varepsilon}{2}$. Ahora, como $y\in\mathrm{Span}(A)$, entonces escribamos $y=\sum_{k\leq n}\alpha_kx_k$. Para cada $k\leq n$ agárrese el $q_k\in E$ tal que $|\alpha_k-q_k|<\frac{\varepsilon}{2n}$. Entonces, $z=\sum_{k\leq n}q_kx_k\in D$, y

$|x-z|\leq |x-y|+|y-z|\leq\frac{\varepsilon}{2}+\sum_{k\leq n}\frac{\varepsilon}{2n}=\varepsilon.$

Por lo tanto $D$ es denso, además es fácil ver que es numerable. (Está bien, ese "es fácil ver" en realidad significó "me dio pereza escribir la demostración"... al fin y al cabo, ya expliqué con detalle por qué $D$ es numerable cuando respondí la pregunta de las Bases de Schauder). Esto finaliza la prueba.

respondido por David Fernández (15,540 puntos) Abr 23, 2014
seleccionada por Palito Velandia Abr 23, 2014
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