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Ceros de polinomios y series de potencias

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Últimamente he tenido que trabajar con lo siguiente: consideremos $k_i \in \{-1,1\}$ para toda $i \in \mathbb{N}$ y consideremos la familia de polinomios $P$ de la forma $$\mathop{\sum}\limits_{i=0}^n k_it^i;$$ y la familia de series $S$ de potencias $$\mathop{\sum}\limits_{i=0}^{\infty}k_it^i.$$ Este tipo de polinomios y series aparecen en este artículo: Glendinning, Paul; Hall, Toby. Zeros of the kneading invariant and topological entropy for Lorenz maps. Nonlinearity 9 (1996), no. 4, 999–1014 y tienen mucha relación con el proyecto en el que trabajo en mi doctorado.

Mis preguntas son las siguientes:

  1. ¿Existe un resultado general que asegure la existencia de una raiz en $(0,1)$ para cada elemento de $P$? Si existe, ¿podrían darme la referencia?
  2. Misma pregunta para $S$: ¿Existe un resultado general que asegure la existencia de un cero de la serie en $(0,1)$ para cada $s \in S$? En el caso de las series, quedan excluidos los casos cuando $k_i = -1$ para toda $i$ o $k_i = 1$ para toda $i$.
  3. En caso de existan dicho resultado para el caso de la serie. ¿Es posible afirmar que el número de ceros de $s \in S$ que pertenecen a $(0,1)$ es finito?

Siento que la pregunta es extremadamente básica, pero no he podido encontrar una respuesta rápida aún. ¡Gracias por la ayuda!

Nota: Yarza me hizo notar que la condición que impuse para el caso dos, tambien aplica para el caso 1. Por otro lado, voy a imponer una condición extra para el caso dos: No existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n \geq N$ $k_n = k_N$. Es decir, siempre hay cierta "alternancia" entre los coeficientes. Por otro lado, para el caso 2, si la sucesión de coeficientes $\{k_i\}$ es periodica o preperiodica entonces la serie se traduce en una función racional. Además, creo que si consideramos $\mathop{\sum}\limits_{i=0}^nk_i$ y esta es positiva, tampoco puedo asegurar la existencia de ceros en la region que estoy considerado. Esto no lo he revisado formalmente aún.

preguntado por Rafa (1,320 puntos) Abr 27, 2014 en Básicas
editado por Rafa Abr 28, 2014
Para empezar, la restricción que pones en el punto 2 también debe ponerse para los elementos de $P$ (no todas las $k_i$'s deben ser iguales para $i=0,...,n$). De lo contrario, no tendrías raíces de las que buscas para dichos elementos de $P$.
Yarza, ya la edite. Gracias por tu comentario, ha sido muy útil
Le he estado dando vueltas a este problema, y aunque no sé si lo que encontré te sirva de algo, lo quería comentar: me parece que el rango en el que buscas los ceros es excesivo. Ni los polinomios ni las series como los planteas tendrán ceros en el intervalo $(0,\frac{1}{2})$. Saludos.
De hecho por eso pregunto, me salto como curiosidad y la verdad rastrear ceros para mi es bastante complicado. Al final me di cuenta que el problema con el que trabajo no entra en este contexto. Por otro lado siento que el problema es curioso. Hay ejemplos (de polinomios) donde si hay ceros en el rango que planeteo, de hecho, todos los polinomios multinacci (es decir polinomios de la forma $x^n + x^{n-1}+ \ldots x = 1$) tienen al menos una raiz (de hecho única) en $(0,1)$ y de hecho, como bien mencionas esta raiz no esta en $(0, \frac{1}{2})$.
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