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Grupos de sylow

+3 votos
Sean p<q<r primos y G un grupo de orden pqr.
i) Muestre que un q -sylow o un r-sylow es normal; en todo caso G tiene un subgrupo normal H de orden qr.

ii) Muestre que un r-sylow de H es característico y que un r-sylow de G es normal.

iii) Si q no divide a r-1 entonces un q-sylow de G también es normal.
preguntado por Izzyro (6,260 puntos) Abr 29, 2014 en Básicas

1 Respuesta

+1 voto
 
Mejor respuesta

i) Dado un primo $z$ que divide al orden de $G$ denotemos con $n_{z}$ al número de $z$-subgrupos de Sylow de $G$. Para establecer el aserto en cuestión basta demostrar que $n_{q}=1$ o $n_{r}=1$: esto lo hacemos por reducción al absurdo. Si tanto $n_{q}$ como $n_{r}$ fueran mayores que $1$ entonces de uno de los incisos del teorema de Sylow se desprende que

$n_{q}>r$

y que

$n_{r} = pq$.

Además, como $G$ tiene al menos un $p$-subgrupo de Sylow entonces lo que se sigue es que $G$ tiene más de $r(q-1)$ elementos de orden $q$, exactamente $pq(r-1)$ elementos de orden $r$ y al menos $p-1$ elementos de orden $p$. Entonces, el número de elementos del grupo $G$ sería al menos

$r(q-1) + pq(r-1)+(p-1)+1$

$= r(q-1) + pqr +p(1-q)$

$= pqr + (q-1)(r-p)$

$> pqr.$

¡Lo anterior es claramente absurdo! En consecuencia, $n_{q}=1$ o $n_{r}=1$. Como cualesquiera dos $q$-subgrupos de Sylow de $G$ (resp. cualesquiera dos $r$-subgrupos de Sylow de $G$) son conjugados entre sí, el hecho de que $n_{q}=1$ o $n_{r}=1$ implica de inmediato que o el $q$-subgrupo de Sylow de $G$ es normal o el $r$-subgrupo de Sylow de $G$ lo es.

Si $n_{q}=1$, denotemos con $H_{q}$ al $q$-subgrupo de Sylow de $G$. Luego, si $I_{r}$ es uno de los $r$-subgrupos de Sylow de $G$, de la normalidad de $H_{q}$ en $G$ se sigue que $H:=H_{q}I_{r} = \{hk: h\in H_{q}, k \in I_{r}\}$ es un subgrupo normal de $G$ (la normalidad es consecuencia del hecho que el subgrupo $H$ tendría por índice al menor número primo que divide a $|G|$).

Análogamente, si $n_{r}=1$, denotemos con $H_{r}$ al $r$-subgrupo de Sylow de $G$. Luego, si $I_{q}$ es uno de los $q$-subgrupos de Sylow de $G$, de la normalidad de $H_{r}$ en $G$ se sigue que $H:=H_{r}I_{q} = \{hk: h\in H_{r}, k \in I_{q}\}$ es un subgrupo normal de $G$ (la normalidad es consecuencia del hecho que el subgrupo $H$ tendría por índice al menor número primo que divide a $|G|$).

ii) Cualquier $r$-subgrupo de Sylow de $H$ es normal en $H$ pues su índice (en $H$) es igual al menor número primo que divide a $|H|$. De esto y del hecho que cualesquiera dos $r$-subgrupos de Sylow de un grupo finito son conjugados se sigue que en el grupo $H$, $n_{r}=1$. Así, si denotamos con $I$ al único $r$-subgrupo de Sylow de $H$ y tomamos $f \in \mathrm{Aut}(H)$, al ser $f(I)$ un subgrupo de $H$ de orden $|I|$, obtenemos que $f(I) = I$. De esto se desprende que $I \mbox{ } \mathrm{ char } \mbox{ } H$. Afirmamos que $I$ es también normal en $G$: como ya tenemos que $H$ es normal en $G$ y que $I$ es un subgrupo característico de $H$, basta con aplicar el siguiente ejercicio clásico (en el libro de Herstein, al menos):

Sean $K$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $K$. Si $M$ es un subgrupo característico de $N$ entonces $M$ es subgrupo normal de $K$.

iii) Si $q$ no divide a $r-1$ entonces puede probarse que $H$ es isomorfo al grupo cíclico $\mathbb{Z}_{q}\times \mathbb{Z}_{r}$. De esto se desprende, en particular, que $H$ es un grupo cíclico. Luego, si $J$ es el único subgrupo de $H$ de orden $q$, el aserto en cuestión se obtiene como consecuencia de otro ejercicio famoso:

Si un subgrupo cíclico $T$ de un grupo $K$ es normal en $K$ entonces todo subgrupo de $T$ también es normal en $K$.

______________________________

Es de notar que los dos ejercicios aludidos tienen que ver con condiciones que garantizan la normalidad de subgrupos de subgrupos normales de un grupo...

respondido por José Hdz (39,570 puntos) Abr 30, 2014
seleccionada por Izzyro May 1, 2014
Otro dato que se ha ocupado en varias partes del "post" anterior: http://www.irracional.org/index.php/443/subgrupos-normales
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