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Aplicar la regla de L'Hôpital en el cálculo de límites de sucesiones

+1 voto
Si f(x) cumple las condiciones para aplicar la regla de L'Hôpital y tras aplicarla obtenemos que converge a "L", parece lógico que la sucesión numérica f(n) también converja a "L".

¿Hay alguna demostración de lo que comento?

Gracias.
preguntado por José Jaime Mas Asunc (120 puntos) May 1, 2014 en Básicas
Mmmhhh... Creo que te falta especificar algunas cosas... ¿a qué te refieres por $f(n)$? ¿$L$ es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a qué? Como lo veo yo, hay dos posibilidades: una, que estés pensando que $L=\lim_{x\to\infty}f(x)$, y que le llames $f(n)$ a la sucesión de las evaluaciones de $f$ sobre los naturales; la otra, que $L=\lim_{x\to x_0}$, y que tengas una sucesión $\{x_n\}$ que tiende a $x_0$ y que quieras probar que $L=\lim_{n\to\infty}f(x_n)$. ¿En qué estás pensando exactamente?
Disculpe por la poca precisión en la pregunta. Me refería a la primera posibilidad de su comentario. La duda viene al leer el artículo http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_33/12_lhopital_33.pdf y tener que demostrar el límite cuando n tiende a +inf de https://drive.google.com/file/d/0B02gViDiv5L5eGxudXVFMWx4Z1k/edit?usp=sharing
Gracias por su tiempo.

1 Respuesta

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Mejor respuesta
No tiene nada que ver con L'Hôpital, esa parte es superflua. Lo que usted necesita saber es, simplemente: Si $f$ es una función y $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$, entonces considerando la sucesión $\langle f(n)\big|n\in\mathbb N\rangle$, se tiene que $\lim_{n\to\infty}f(n)=L$. Y es muy sencillo ver por qué se da esto, pues dado $\varepsilon>0$, nuestra hipótesis nos permite hallar un número real $M$ tal que para todo real $x>M$, se cumple que $|f(x)-L|<\varepsilon$. Pero entonces, agarrando cualquier número natural $N>M$, se tiene que, para todo número natural $n>N$, debe de cumplirse que $|f(n)-L|<\varepsilon$ (pues $n$ es, en particular, un número real, con $n>N>M$). Cuadrito.
respondido por David Fernández (15,540 puntos) May 7, 2014
seleccionada por aubin May 7, 2014
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