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Máxima área de un cuadrilátero inscrito en una elipse.

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Se tiene una elipse en el plano (²); las longitudes de sus "semiejes" son las constantes 'a', 'b'.

¿Cuál es el valor máximo para el área de un cuadrilátero inscrito en la elipse? ¿Qué forma tiene(n) aquel(los) cuadrilátero(s)? Justificar.

preguntado por Michel Anthony (21,320 puntos) Ago 10, 2013 en Básicas

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Las transformaciones afines (las de la forma $(x,y) \mapsto (ax+by+h, cx+dy+k)$) conservan razones entre áreas (ésa multiplica todas las áreas por $ad-bc$), y una elipse de semiejes $a$ y $b$ se puede transformar en un círculo de radio $a$ estirando distancias por un factor de $a/b$ en la dirección del semieje que mide $b$. En el círculo es conocido que el área máxima de un cuadrilátero inscrito es la del cuadrado, que tiene área $2a^2$. Por lo tanto, en la elipse el área máxima es $2a^2/(a/b)=2ab$. Los cuadriláteros que dan ese máximo son la imagen inversa de cuadrados inscritos en el círculo de radio $a$ bajo la transformación descrita. Todos son paralelogramos, al ser imágenes de un paralelogramo bajo una transformación afín.

Esto ya nos dice cuantos y cómo son los cuadriláteros de área máxima, pero es posible ser "más explícitos". Hay tantos como cuadrados inscritos al círculo de radio $a$, o sea, cada punto de la elipse está en un único cuadrilátero de área máxima. Para describir su forma, solo debemos describir los cuadrados inscritos al círculo de radio $a$ en una forma que solo use conceptos que son preservados por las transformaciones afines. (Los cuadrados no son enviados en cuadrados bajo transformaciones afínes: ni el concepto de perpendicular, ni el concepto de longitudes iguales son preservados). Pero es posible describir los cuadrados inscritos así: dado un punto $P$ sobre el círculo, el cuadrado inscrito $PQRS$ que tiene a $P$ como vértice cumple que las tangentes al círculo en $P$ y en $R$, y también la diagonal $QS$ son todas paralelas, además, $QS$ pasa por el centro del círculo. Como las transformaciones afines preservan paralelismo, tangencia y el centro de las elipses, obtenemos esta descripción:

Dado un punto $P$ sobre la elipse, podemos construir el cuadrilátero de área máxima que lo tiene como vértice así: trazamos la tangente a la elipse que pasa por $P$, construímos una paralela a dicha tangente que pasa por el centro de la elipse y llamamos $Q$ y $S$ a sus puntos de intersección con la elipse. Finalmente tomamos $R$ como el otro punto de la elipse donde la tangente es paralela a $QS$, es decir, es el punto $R$ "diametralmente opuesto a $P$" (o sea, el punto tal que $PR$ pasa por el centro de la elipse). El cuadrilátero $PQRS$ es el deseado.
respondido por Omar Antolín (33,060 puntos) Ago 10, 2013
editado por Omar Antolín Ago 13, 2013
Lo que escribí ya responde lo de cuantos y cuales son los cuadriláteros de área máxima: son las imágenes de los cuadrados inscritos al círculo bajo la transformación afín que manda el círculo en la elipse, pero si preguntas supongo que es porque quieres otra respuesta, una que no involucre la transformación afín. Lo voy a agregar a la respuesta.
Ah, ya entendi porque sale azul tu otra pregunta: no es un comentario a esta respuesta, sino una liga a otra pregunta... Ahora mismo voy y contesto allá.
Gracias, Omar.
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