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Máximo Nº de puntos de coordenadas "enteras", para una circunferencia de ecuación "canónica" y de radio "natural".

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En el plano cartesiano ℝ², se tiene una circunferencia "C", centrada en el origen de coordenadas (0; 0), y cuyo radio mide 'r' unidades (r ∈ ℕ).

¿Hay un supremo para el número de puntos de C, cuyas coordenadas tengan valor "entero"? De haberlo, ¿cuál sería, en función de 'r'?

preguntado por Michel Anthony (21,320 puntos) Ago 10, 2013 en Básicas

2 Respuestas

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Mejor respuesta

La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio $r$ es $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. De esto se sigue que la abscisa $x$ de un punto de coordenadas enteras sobre tal circunferencia es tal que $|x|\leq r$. Como por cada $x$ a lo más hay dos $y$ tales que $(x,y)$ se encuentra sobre tal circunferencia concluimos que el número de puntos de coordenadas enteras sobre la circunferencia de ecuación $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ es a lo más $2r+2$. Esta reflexión indica que la respuesta a la primera pregunta es afirmativa (suponiendo que el radio $r$ es fijo).

Una manera de responder la segunda pregunta es utilizando la fórmula para el número de representaciones de un número natural $n$ como suma de dos cuadrados perfectos. El resultado este suele atribuirse a Jacobi y dice que si

$r(n):= \# \{(A,B) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: n=A^{2}+B^{2}\}$

entonces

$r(n) = 4(d_{1}(n)-d_{3}(n))$

donde

$\displaystyle d_{i}(n) = \sum_{d>0, \mbox{ } d|n, \mbox{ } d \equiv i \pmod{4}} 1.$

De esto se desprende en particular que el número de puntos de coordenadas enteras sobre la circunferencia $x^{2}+y^{2}=r_{0}^{2}$, como función de $r_{0}$, es

$(r \circ f)(r_{0}) = 4(d_{1}(r_{0}^{2}) - d_{3}(r_{0}^{2}))$

donde $f$ es la función definida por la asignación $t \mapsto t^{2}$.

respondido por José Hdz (39,570 puntos) Ago 20, 2013
editado por José Hdz Sep 15, 2013
Muy bien, José. Ese sería un modo de describir exactamente el número de casos, apoyados en el hallazgo de Jacobi.

Nótese que es 'geométricamente' sencillo de comprender el factor '4', dada la doble simetría de la circunferencia; así, el Nº de puntos de  'C', con coordenadas enteras, siempre sera múltiplo de 4 (incluido el caso de solo los 4 puntos 'cuadrantales', evidentemente).
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Suponiendo que $r\cos\theta$ es un divisor de $r$:

 

Es bien sabido que $\cos\theta,{\rm sen }\theta\in[-1,1]$. Sea $r(\cos\theta,{\rm sen } \theta)$ un punto en tal circunferencia. Existen cuatro puntos con entradas enteras que resaltan: $(\pm r,0),(0,\pm r)$. Afirmo que estos son todos: en efecto, si $r=1$, entonces $\cos\theta$ es entero si y sólo si $\theta\in\{0,\pi/2,\pi,\tfrac{3\pi}{2}\}$ lo que corresponde a los cuatro puntos antes descritos. Ahora, supongamos que $r>1$ y sea $p$ un divisor primo de $r$, entonces existe $\theta$ tal que $\cos\theta=\tfrac{1}{p}$ y así, $r\cos\theta\in\mathbb{Z}$; luego, ${\rm sen}\theta=\tfrac{\sqrt{p^2-1}}{p}$ y esto es entero si y sólo si $p^2-1$ es un cuadrado perfecto. Ahora, $(p+1)(p-1)=m^2$ para algún $m$; si $p+1$ y $p-1$ son primos relativos, entonces $p+1=k^2$ y $p-1=n^2$ para algunos $k,n\in\mathbb{N}$. Esto nos dice que $p+1$ y $p-1$ son dos cuadrados que distan en 2 unidades, pero esto es imposible porque la sucesión de cuadrados es $1, 4, 9, \dots$ los cuales se van separando cada vez más y la distancia mínima entre dos cuadrados cualesquiera es 3. Por tanto, $p+1$ y $p-1$ no pueden ser primos relativos. Sea $d$ un divisor común de $p+1$ y $p-1$, entonces $d$ divide a la diferencia de estos, que es igual a 2; así, $d=2$ y es el único divisor común entre estos números. De este modo, existen enteros $t$ y $s$ tales que $p+1=2t^2$ y $p-1=2s^2$; tomando la diferencia de estas dos igualdades vemos que $2=2(t^2-s^2)$ y esto se cumple si y solo si $t,s\in\{0,\pm 1\}$, lo que es absurdo. Por tanto, no existe $p$ tal que $p^2-1$ sea un cuadrado perfecto. En conclusión, no existen más puntos del círculo en $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.
respondido por Enrique (9,150 puntos) Ago 12, 2013
editado por Enrique Ago 12, 2013
Aguas, Enrique. Por ejemplo, si r=5, (3,4), (3,-4), etc. también están en la circunferencia x^2 + y^2= r^2, ¿qué no?
Tienes razón, mi respuesta sirve sólo cuando $r\cos\theta$ es un divisor de $r$. Seguiré pensando
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