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Cómo calcular la siguiente Integral

+2 votos

Hola, tengo un problema con este bicho, no quiero que me den simplemente el resultado (eso ya lo conozco), sino saber si alguien de ustedes puede evaluar la integral, y en su caso, describir el método/sustituciones que realizaron. Tengo en mente dos posibilidades, la Integral realmente es complicada o bien había una forma más sencilla u oculta que no ví/conozco, tal vez todo es cuestión de algunos 'trucos', bueno aquí está, les agradeceré bastante si pueden ayudarme 

 

  1. $$ \int \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}} $$
preguntado por Dreams of Blood (170 puntos) May 15, 2014 en Preguntas
Ya lo resolví, aunque gracias si lo intentaron
seria bueno si nos compartieras la respuesta :)
Yo concuerdo con robin: si tienes la respuesta, por favor compártela (así le puede servir a cualquiera que pase por aquí con la misma pregunta).

1 Respuesta

+1 voto

Era muy fácil, tal vez simplemente no tan evidente.

 

$\textrm{Calcular la siguiente integral:}$

$$I=\int \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}.$$



$\textit{Demostración}.$Inicialmente se realiza la sustitución $x=\sin \varphi$, por lo cual se tiene que:
$$I=\int \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}= \int \frac{\cos \varphi}{(1+\sin^2 \varphi)\sqrt{1-\sin^2 \varphi}}\, d\varphi=\int \frac{d\varphi}{1+\sin^2{\varphi}},$$
de ahí se fija que $w=\tan \varphi$, por lo cual $d\varphi=\frac{dw}{1+w^2} \,\, \& \,\, \sin \varphi = \frac{w}{\sqrt{1+w^2}}$, con ello se obtiene:
$$    I=\int \frac{dw}{(1+w^2)(1+ \frac{w^2}{1+w^2} )}=\int \frac{dw}{1+2w^2}=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan{\left(\sqrt{2}w \right)}\, .$$
Realizando los ajustes requeridos es fácil notar que $ w=\tan \varphi = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ ; $\, \,$ por lo tanto es claro que
$$I=\int \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan{\left(\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1-x^2}}\right)} \, . \blacksquare$$

 

respondido por Dreams of Blood (170 puntos) Jul 20, 2014
editado por Dreams of Blood Jul 20, 2014
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