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Problema con libres de cuadrados

+4 votos

Demuestre que en cualquier subconjunto de $n$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,2n\}$ siempre hay al menos un número que es libre de cuadrados.

(Recuerde que un número natural es libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de algún número primo.)

Ojalá se motiven a "postear" sus soluciones.

preguntado por José Hdz (39,490 puntos) May 22, 2014 en Problemas
editado por José Hdz May 22, 2014

1 Respuesta

+4 votos
 
Mejor respuesta

La cantidad de números que no son libres de cuadrados es a lo más

$$ \sum_{p \text{ primo}} \left\lfloor \frac{2n}{p^2} \right\rfloor < 2n \sum_p \frac{1}{p^2} < 2n \left( \frac{1}{4} + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2} \right) = 2n \left(\frac{1}{4} + \frac{\pi^2}{8} - 1\right) < n.$$

respondido por Omar Antolín (32,640 puntos) May 23, 2014
seleccionada por José Hdz May 23, 2014
Prácticamente la misma solución con la que di yo. A ver si alguien puede dar una en la que no se ocupe serie infinita alguna.
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