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Resuelve para 'z' la ecuación (en ℝ)

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Halla los valores de z∈ ℝ, que verifican la ecuación de valor absoluto:

|17z⁴-4z⁸| = 15

preguntado por Michel Anthony (21,320 puntos) Ago 10, 2013 en Álgebra
Je, je, je..no es mi tarea. Ubiqué aquí este ejercicio, por si lo consideraban muy sencillo. Muévanlo, si creen pertinente; saludos.
Este ejercicio está muy sencillo. No así el de la terna (x,y,z) de enteros positivos, el cual es más interesante.

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Si $z$ es solución de la ecuación dada entonces $17z^{4}-4z^{8}=15$ o $17z^{4}-4z^{8}=-15$. En el primer caso, haciendo la sustitución $x=z^{4}$ se obtiene la ecuación cuadrática $4x^{2}-17x+15=0$ cuyas soluciones son $x_{1}=5/4$ y $x_{2}=3.$ Estas soluciones devienen a su vez en cuatro soluciones reales de $17z^{4}-4z^{8}=15$; a saber, $z_{1}=\sqrt[4]{5/4}, z_{2}=-\sqrt[4]{5/4}, z_{3}=\sqrt[4]{3}$ y $z_{4}=-\sqrt[4]{3}$.

En el segundo caso, la sustitución $y=z^{4}$ da lugar a la ecuación $4y^{2}-17y-15=0$ cuyas soluciones son $y_{1}=-3/4$ y $y_{2}=5.$ En este caso, a partir de $y_{1}$ y $y_{2}$ se obtienen sólo dos soluciones reales de la ecuación $17z^{4}-4z^{8}=-15$; a saber, $z_{5}=\sqrt[4]{5}$ y $z_{6}=-\sqrt[4]{5}.$

En conclusión, el conjunto de números reales que verifican la ecuación propuesta es $\{\pm \sqrt[4]{5/4}, \pm \sqrt[4]{3}, \pm \sqrt[4]{5}\}$.
respondido por José Hdz (39,570 puntos) Ago 13, 2013
seleccionada por Michel Anthony Ago 13, 2013
¡Bien, José! Esas son las soluciones reales. Gracias por su correcta ilustración.
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