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Tengo un problema con el teorema espectral.

+1 voto
Sean $V$ un espacio con producto interno complejo con $dimV< \infty $ y $T:V\rightarrow V$ un operador normal. Usar la descomposicion espectral, $T=\lambda _1T_1+\lambda _2T_2+\cdots +\lambda _rT_r$ para demostrar que para cada $n\in \mathbb{N}$, existe un operador normal $U:V\rightarrow V$ tal que $U^{n}=T$.

Sugerencia: Usar que para cada $\lambda _i\in \mathbb{C}$ existe $z_i\in \mathbb{C}$ tal que $(z_i)^{n}=\lambda _i$.

No encuentro el modo de probarlo :/
preguntado por robin (460 puntos) May 24, 2014 en Álgebra lineal
editado por robin May 24, 2014
La sugerencia tu mismo das casi lo resuelve, el siguiente paso es considerar el operador $z_1 T_1 + \cdots + z_r T_r$.
Entonces seria asi:
Sea $T=\lambda _1T_1+\cdots +\lambda _rT_r$.
Consideremos el operador $U$ tal que su descomposicion espectral esta definida por $U=z_1T_1+\cdots +z_rT_r$, entonces $U^{n}=z^{n}_1T_1+\cdots +z^{n}_rT_r$. Ahora tomemos $(z_i)^{n}=\lambda _i$, entonces $U^{n}=\lambda _1T_1+\cdots +\lambda _rT_r=T$, por lo tanto $U^{n}=T$.
Estaría suave que convirtieras ese comentario en respuesta (pues eso es lo que es).
Gracias por su ayuda, creo que si lo convertire en respuesta.
No entedia como entrarle al problema y queria demostrar que el operador T tenia inversa.
Esto sigue siendo cierto si consideras cualquier espacio de Hilbert y V como operador normal compacto. No estoy seguro si sigue siendo cierto en general para operadores normales.

1 Respuesta

+1 voto
Sea $T=\lambda _1T_1+\cdots +\lambda _rT_r$.

Consideremos al operador $U$ tal que su descomposicion espectral esta definida por $U=z_1T_1+\cdots +z_rT_r$, entonces $U^{n}=z^{n}_1T_1+\cdots +z^{n}_rT_r$. Ahora tomemos $(z_i)^{n}=\lambda _i$, entonces $U^{n}=\lambda _1T_1+\cdots +\lambda _rT_r=T$, por lo tanto $U^{n}=T$.
respondido por robin (460 puntos) May 25, 2014
editado por robin May 25, 2014
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