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El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Isomorfismo Aditivo

+2 votos
Recuerdo que alguien preguntó esto hace ya bastante tiempo (mucho antes de que existiera el Irracional) en el grupo de Matemáticos de Facebook. Como la respuesta es bonita e interesante, me parece apropiado intentar rescatarla aquí.

¿Es $\mathbb R$ aditivamente isomorfo a $\mathbb C$? (lo cual significa: ¿Es el grupo $(\mathbb R,+)$ isomorfo al grupo $(\mathbb C,+)$?)
preguntado por David Fernández (15,540 puntos) May 29, 2014 en Básicas

1 Respuesta

+3 votos
 
Mejor respuesta
Toma una base $(x_\alpha)_\alpha$ de $\mathbb{R}$ como $\mathbb{Q}$-espacio vectorial. Sea $(e_i)_i$ la base canonica de $\mathbb{R}^n$ como  $\mathbb{R}$-espacio vectorial, entonces $(x_\alpha e_i)_{\alpha,i}$ es una base de $\mathbb(R)^n$ como $\mathbb{Q}$-espacio vectorial. $(x_\alpha)_{\alpha}$ y $(x_\alpha e_i)_{\alpha,i}$ son de la misma cardinalidad y cualquier biyeccion entre ambas induce isomorfismos entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^n$ como $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales y en particular como grupos abelianos (nótese que la estructura aditiva de $\mathbb C$ es la misma que la de $\mathbb R^2$, de donde se sigue lo preguntado).
respondido por Carlos (17,280 puntos) May 30, 2014
editado por David Fernández May 30, 2014
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