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problema de minimos y gradientes

+1 voto

Necesito resolver este problema:
Sea f: R^n-->R una función dos veces continuamente diferenciable en x y sean los vectores d1, d2, ..., dn de R^n linealmente independientes. Supongamos que el mínimo de f(x + alfa· dj) con respecto de alfa, pertenenciente a R, se alcanza en alfa = 0 para j=1,2,...n.
a) Demostrar que gradiente de f(x) es 0.
b) ¿Es necesariamente x un mínimo global de f?
Muchas gracias

preguntado por jogumo (310 puntos) May 31, 2014 en Avanzadas

1 Respuesta

+2 votos
a) El diferencial $df_x$ de $f$ en el punto $x$ es una funcion lineal $df_x:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$. Para un vector $d_i$ usando la regla de la cadena obtenemos $df_x(d_i) = \frac{d}{dt}|_{t=0} f(x+td_i) = 0$ pues $t=0$ es un minimo de la funcion $f(x+td_i) $. Como los $d_i$ forman una base de $\mathbb{R}^n$ concluimos que $df_x=0$. El gradiente $\nabla f(x)$ es el vector en $\mathbb{R}^n$ tal que $0=df_x(v) = \langle v, \nabla f(x) \rangle$ para todo $v\in \mathbb{R}^n$. Por lo tanto $\nabla f(x) = 0$.

 

b) No. Toma la funcion $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^2-y^2$ y la base $(1,0), (2,1)$ de $\mathbb{R}^2$. Esta funcion cumple con las condiciones deseadas con respecto a esta base y el punto $(0,0)$, pero obviamente no tiene un minimo (ni global ni local) en $(0,0)$.
respondido por Carlos (17,280 puntos) Jun 11, 2014
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