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Si a es un ordinal finito y w es el ordinal de los naturales, ¿como puedo mostrar que a*w=w?

+2 votos
* es el producto de números ordinales.
preguntado por angela (90 puntos) Jun 17, 2014 en Problemas

1 Respuesta

+2 votos
Recuerda que, por definición, $a\cdot\omega=\sup_{n<\omega}a\cdot n$, y que la multiplicación ordinal, cuando se restringe a los números finitos, no es otra cosa que la multiplicación usual. Por lo tanto, si $a=0$ entonces $a\cdot\omega=0$. Ahora que, si $a\neq0$, entonces $a\cdot n$ es finito (i.e. $<\omega$) para todo $n$, por lo cual $a\cdot\omega\leq\omega$, y recíprocamente dado cualquier ordinal finito $N$ es posible encontrar $n<\omega$ tal que $a\cdot n>N$. Esto significa que $a\cdot\omega\geq\sup_{n<\omega}n=\omega$, por lo tanto $a\cdot\omega=\omega$.
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Jun 17, 2014
De una manera mucho más intuitiva, $a\cdot\omega$ es una sucesión de $\omega$ copias de $a$, si haces el dibujito verás que te sale igual a $\omega$. Obviamente un dibujito no es una demostración formal, pero es sorprendentemente útil para agarrar intuición, y por lo general no falla (es decir, te da siempre el resultado correcto).
Gracias por la ayuda, pero necesito demostrar la proposición por medio de la creación de una función.
¿Te refieres a un isomorfismo (de orden) entre el producto lexicográfico de $\omega$ copias de $a$ y $\omega$? Si es así, entonces simplemente considera la función $f:a\times\omega\longrightarrow\omega$ dada por $f(i,m)=am+i$. No es difícil checar que esta función es el isomorfismo buscado (aquí tomamos $a\times\omega$ con el orden lexicográfico "derecho": $(i,m)<(j,n)$ si y sólo si $m<n$ o $m=n$ y $i<j$). Esto es esencialmente poner en símbolos el dibujito del que hablé antes.
Una pregunta con respecto a esa función. Si usamos f(1,1) (El primer 1, en {1,2,...,a}, y el segundo en los naturales), el resultado es a+1...no sería mejor la función dada por $f(i,m)=a(m-1)+i$? Para que inicie desde 1?
Cuando se trata de ordinales, por lo general cuento desde cero: mi dominio sería $\{0,1,\ldots,a-1\}\times\{0,1,\ldots\}$, y de esta manera los valores de la función también inician desde cero: $f(0,0)=0$, $f(1,0)=1$, etc.
Ciertamente. Haberlo trabajado así nos habría ahorrado mucho trabajo.
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