• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Puntos de condensación en segundo numerables

+2 votos

Recordemos que un punto $x$ es un punto de condensación para un conjunto $A$ en un espacio topológico $X$ si para toda vecindad $V$ de $x$ se tiene $|V\cap A|>\aleph_0$, donde $|\cdot|$ indica cardinalidad.

Supongamos que $X$ es un espacio segundo numerable y sea $A$ un subconjunto más que numerable de $X$. Si denotamos por ${\rm cond}(A)$ al conjunto de puntos de condensación de $A$, pruebe que $A\backslash{\rm cond}(A)$ es un conjunto a lo más numerable.

preguntado por Enrique (9,150 puntos) Jun 17, 2014 en Básicas
En donde dices que $|V\cap A|>\aleph_0$ se me hace que la desigualdad no es estricta (sólo quieres una infinidad de puntos, ahí estás diciendo que es una cantidad no numerable).
Así es David. Los puntos de condensación cumplen con que intersectan en una cantidad no numerable al conjunto (el cual debe ser más que numerable). En el libro de Seebach y Steen (Counterexamples in Topology) usan el término $\omega$-acumulación para los puntos que cumplen con la condición que mencionas: que intersecten en una infinidad.

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
Como $X$ es segundo numerable, sea $\mathcal B$ una base numerable para su topología. Para cada $x\in A\setminus\mathrm{cond}(A)$ es posible elegir una vecindad $U_x\in\mathcal B$ con $x\in U_x$ y $|U_x\cap A|\leq\omega$. Si suponemos que $A\setminus\mathrm{cond}(A)$ es no numerable, entonces hay una cantidad no numerable de $x$ para tan sólo una cantidad numerable de posibles $U_x$ (pues $\mathcal B$ es numerable), por lo cual el principio de la pichonera nos dice que es posible elegir un conjunto no numerable $W\subseteq A\setminus\mathrm{cond}(A)$ y un $U\in\mathcal B$ tal que $(\forall x\in W)(U_x=U)$. Pero entonces $W\subseteq U\cap A$, lo que contradice que $U\cap A$ era supuestamente numerable.
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Jun 30, 2014
seleccionada por Enrique Jul 17, 2014
Solo tengo una duda, ¿cuál es el principio de la pichonera?
También se le conoce a veces como "principio de las casillas" (en inglés es el "pigeonhole principle"). La versión finita es muy conocida: si tienes $n+1$ pichones y los colocas en $n$ pichoneras, entonces alguna pichonera deberá tener al menos dos pichones. La versión infinita es: si $\kappa$ es un cardinal infinito, y colocamos más de $\kappa$ pichones en $\kappa$ pichoneras, entonces alguna de las pichoneras deberá contener más que $\kappa$ pichones. En este caso, a cada pichón $x\in A\setminus\mathrm{cond}(A)$ lo metemos en la pichonera $U_x\in\mathcal B$.
Sí, fue lo que supuse pero mejor estar seguro. (Y)
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...